2、U称函数p(x)为f(x)的插值函数，点x(),XpXn为插值节点，［a,b］为插值区间，求插值函数p(x)的方法称为插值法，若p(x)是次数不超过n的代数多项式，即p(x)=d()+绚兀+・・・+勺兀"色为实数，则称P(x)为插值多项式。1-2拉格朗日(Lagrange)插值1.21线性插值与抛物插值1.线插(两点一次插值)对于〃⑴=+d
3、X+・・・+d“X时，假定给定区间仪0,幻］及端点的函数值yo，yp要求线性插值多项式Pi(x)满足Pi(Xo)=yo，P1(X1)=yPP1（X）的几何意义就是过
4、两点（x（）,y0）,（xPyj的直线。人（兀）=儿+邑二^（兀-兀0）州一兀0（点斜式）片⑴=込）儿+込山儿（两点式或对称式）兀0一兀1旺—兀0由两点式看出，Pi（x）是由两个线性函数：的）=匸二，厶⑴=込亠的线性组合得到，其系数分别为儿及川X。一“"一兀（）即P（X）=lk（x）y（）+/］（x）x显然，的）及/心）也是线性插值多项式，在节点Xo,Xi满足‘0（兀0）=1'<0（兀1）=0；/)(%0)=0,/
5、(Xj)=1;我们称/。（兀）及a（x）为线性插值基函数。2.抛物线插值（三点二次插值
6、）线性插值仅仅用两个节点以上的信息，精确度较差。为了提高精确度，我们进一步考察以下三点的插值问题，即当n=2时，假设插值节点为Xo，XpX2要求二次插值多项式P2（X）满足马（兀）=开(i=0,1,2)我们知道y=P2M在几何意义上就是过三点（xi，yj的抛物线，为了求出y=P2M，可以采用基函数方法。设P2（x）=l0（x）yQ+li（x）yl+l2（x）y2此时基函数/«（%）>人⑴及厶（兀）是二次函数，且在节点上满足条件/0(x0)=1；/0(%,.)=0,(i=l,2)；/2(%2)=1,/2(
7、x.)=0,(i=0,1)；现在来求人⑴。V/0(%)有两个0点•••设/()(兀)=A(x-Xj)(x-x2)•'()(兀0)=1同理CO)=将?（）（兀）、的）=D（r）（兀0—禹）（兀0—兀2）（兀一兀0）（兀一兀2）（K一无））（无
8、一兀2）心二（兀—兀o）（兀_兀】）2（兀2_兀（））（兀2—“）l}（x）及12（%）的值分别代入/^(x)=/0(x)y0+/1(x)y1+Z2(x)y2>pw(”n)儿+D(r)”+m)V2(x0-xl)(x0-x2)(X,-X0)(Xj-x2)(x2-x0)
9、(x2-Xj)1.22拉格朗日（Lagrange）插值设有n+1个节点，xo10、=o,n)z(兀一％)…(兀一兀i)(兀一兀+i)…3-斗)基函数构造简记法：若记％(x)=(x-x0)(x-Xj)---(x-兀)型+】(乞)=(兀一％())(“一兀I)…(兀一兀_］)(兀一兀+1)…(兀一£)则咲吨心估注意1：n次插值多项式Pn(x)通常是最高次数为n的多项式，特殊情况下，次数可能小于n例求过这三个点(0,1),(1,2),(2,3)的拉格朗日插值多项式。解：笃(对=(—1)(—2)x]+(—0)(—2)x2+(—0)(—l)x3»+l-(0-1)(0-2)(1-0)(1-2)(2
11、-0X2-1)此为一条直线，其原因在于(0,1),(1,2),(2,3)三点共线注意2：工厶(兀)=1/•=01.23Lagrange插值的截断误差(插值余项)与误差估计若在区间［a,b］上用Pn(x)近似f(x),则其截断误差为:Rn(x)=f(x)—Pn(x),或称插值余项。定理设F%）在［a，b］上连续，严叫幻在（a,b）内存在，则淇中©依赖于x）：R"M=fM-pn(x)=©+1(x),§e(a,b)(n+1)!©+i(x)=(%一
