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1、根与系数的关系——韦达定理昊翼腾基本概念1.根与系数的关系称为韦达定理(在此研究一元二次方程根与系数的关系)。2•韦达定理内容：方程ax2+bx^c=()的根是x严-爪睡,X,=2a-/?-Va"2a=>%.4-应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数aa根，即必须满足判别式A>0o韦达定理的应用(一)检验一元二次方程的解例如：x{=V2+l,x2=V2—1是否是F—2V2x+1=0的解?(二)已知方程的一个根，求另一个根及待定系数的值1•己知方程2宀宓+3=0的-个根为求另-个根及加的值。2.
2、利用根与系数的关系解方程：3x2+x=3V2+V2(三〉不解方程，求根的代数式的值规律总结：对称式因式分解，求绝对值平方加讨论，整式菲对称式降次，分式非对称式转化为对称式求解，求最值用判别式，在配方点和端点上。例题一1・设方程4x2-7%-3=0的两根为心兀2,不解方程，求下列代数式的值：(1)(x,-3)(x2-3)(2)(3)勺+_(4)xl-x：兀］+1x2+12已知m为实数,方程x2+2x+m=0有两个实根x1,x2,^<
3、xl
4、+
5、x21的值。3•设西,七是二次方程x2+x-3=0的根，求昇
6、-4x22+19的值o4.已知a,0是方程x2-7x+8=0的两个根，且a>0,不解方程，利用根与系数的关系求2+302的值。a5•对自然数n,设x为二次方程兀$+（2n+l）x+n2=0的两根为求:a+1）（03+i）+a+皿+1）+…+（血+os。+i）的值。6•设£，兀2为方程X，-伙-2）兀+（疋+3£+5）=0的两个实数根，求Xj2+%22的最大值和最小值。练习一1.已知亿〃分别是方程些PX2+心+6=0的根，求6Z2(X)3+Z?2(X，3的值oc3a_b2•已知2x2-2x-}=0的两根
7、为q,0,不解方程，求(a2-2a-1)(/?2-20-1)的值。3设方程4x2-2x-3=0的两个根是Q,0,求4a2+20的值。4.已知a,0分别是方程F+兀_1二0的两个根，求2/+5/的值。5•设一元二次方程ax2+bx^-c=0的两个实根的和为®，平方和为吐，立方和为$3,求必3+加2+罔的值。6.已知a,b是方程x2-2伙-2)兀+(疋+3£+5)二0(£为实数)的两实根，求a2+b2的最小值。7•若x2-2/nx+m+6=0的两实根为,求(a-l)?+(〃-1)2的最小值。)求作新方程求
8、作新方程公式：X2-(Xj+x2)x+x1x2=0；推导:Xj+x2=——,xtx2=—,一-aabc原方程为ax2+br+c=0(aHO),x2+—x+—=0,.・.x2一(兀【+x2)x+xlx2=0。要aa~求做一个与原方程根互为倒数的方程，只需把二次项系数与常数互换。例题二1•求作一个新方程，使它的两个根分别是方程5x2+2%-3=0的各根的负倒数。2•不解方程，求作一个关于y的一元二次方程，使它的首项系数为1,两根分别为方程F+3兀+1=0的五次方。：3•已知久0满足:打篇：？疇y£试以%0
9、为根，求作-个二次项系数为1的一元二次方程。练习二1•求作一有利系数一元二次方程，使得J9-4亦为它的一个根。2•已知一元二次方程两根之差为p,积为q,二次项系数为1,则该方程为3•已知方程F+8x+5=0,(1)不解方程，求作一个一元二次方程，使它的根比已知方程各根均大于一个常数a。(2)当a取何值时，所求方程缺一次项？并写出这个方程。4.已知a"满足£"+；0+和砌T4,求以©0为根的一元二次方程。(五)已知方程两根间的关系,求待定系数的值例题三1.己知关于X的方程/_伙+1)兀+比+2=0的两个
10、实数根的平方和等于6,求k的值。2•若方程-3x4-1=0的两根a,0也是方程x^-px1+q=0的根，则p+q=o2.已知两数之积如1,且2/+1234567890。+3=0,3b2+1234567890方+2=0,求兰。b3.设兀[,兀2是关于兀的一元二次方程界+(#-2)兀+1=0的两根，且7[l+x1(p4-x1)-x2][l+-r2(p+x2)-x1]=一一，求p的值o兀2的值为整数的a整数的值。5•已知兀[,兀2是方程4ax2-4^4-67+4的两个根，(1)适当选取实数a的值，问能否使(
11、西-2左)(左-2和的值等于2(2)求使亘+4兀]练习三1.设西宀是方程扌-2伙+l)x+/+2=0的两实根，且(西+1)(兀2+1)=8,求k的值。2若方程x2-2x+^=0的两根a,0也是方程疋+溝+防0的根，则P二。：3.设方程F+px+q=O的两根恰是p与q,求p与q的值。4.已知m,n是有理数，且方程X2+皿+〃=0有一个根是石-2,求m+n。5.设a,b是整数，方程x2-Jt-ax--b=0有一根是丁7-4馆,那么a+b的值是6•已知西，兀
