根与系数的关系、韦达定理

《根与系数的关系、韦达定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、成都崇文教育天府长城校区充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常

2、用到对称分析、构造等数学思想方法。【例题求解】【例1】已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为。思路点拨：所求代数式为、的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果、都是质数，且，，那么的值为()A、B、或2C、D、或2思路点拨：可将两个等式相减，得到、的关系，由于两个等式结构相同，可视、为方程的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于、的对称式，这类问题可通过变形用+、表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)

3、构造对称式。【例3】已知关于的方程：(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。(2)若这个方程的两个实根、满足，求m的值及相应的、。思路点拨：对于(2)，先判定、的符号特征，并从分类讨论入手。【例4】设、是方程的两个实数根，当m为何值时，有最小值?并求出这个最小值。思路点拨：利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的。7成都崇文教育天府长城校区注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化

4、是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。【例5】已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于的方程的两个根。(1)当m＝2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由。(2)若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P，Q，PQ＝1，且AB

5、实数取值范围是。(2)已知关于的一元二次方程有两个负数根，那么实数的取值范围是。2、已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为。3、CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程的两根，则△ABC的面积是。4、设、是关于的方程的两根，+1、+1是关于的方程的两根，则、的值分别等于()A．1，-3B．1，3C．-1，-3D．-1，35、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于的方程的两根，那么AB边上的中线长是()A．B．C．5D．27成都崇文教育天府长城校区6、方程恰有两个正整数根

6、、，则的值是()A．1B．-lC．D．7、若关于的一元二次方程的两个实数根满足关系式：，判断是否正确?8、已知关于的方程。(1)当是为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程的两个实数根、满足：，求的值。9、已知方程的两根均为正整数，且，那么这个方程两根为。10、已知、是方程的两个根，则的值为。11、△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程的两根，则m的取值范围是。12、两个质数、恰好是整系数方程的两个根，则的值是()A．9413B．C．D．13、设方程有一个正根，一个负根，则以、为根的一元二次方程为()A．B．C．D．7成都崇

7、文教育天府长城校区14、如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是()A．0≤m≤1B．m≥C．D．≤m≤115、如图，在矩形ABCD中，对角线AC的长为10，且AB、BC(AB>BC)的长是关于的方程x2+2(1-m)x+6m=0的两个根。(1)求rn的值；(2)若E是AB上的一点，CF⊥DE于F，求BE为何值时，△CEF的面积是△CED的面积的，请说明理由．16、设m是不小于的实数，使得关于的方程工有两个不相等的实数根、。(1)若，求m的值。（2）求的最大值。17、如图，已知在△ABC中，∠ACB

8、=90°，过C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC2：BC2＝2：1；又关于x的方程两实数根的差的平方小于192，求整数m、n的值。18、设、、为三个不同的实数，使得方程和和有一个相同的实数根，并且使方程和也有一个相同的实数根，试求的值。7成都崇文教育天府长城校区19、如图，矩形A