[汇编]根与系数的关系、韦达定理

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1、充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16I比纪法国最杰出的数学家韦达发现的。韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程屮参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。15达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造

2、等数学思想方法。【例题求解】【例1】已知Q、0是方程x2-a-1=0的两个实数根，则代数式，+刃02_2)的值为。思路点拨：所求代数式为"、0的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果°、b都是质数，+加=o,/异_13方+加=0,那么-的值为()思路点拨：可将两个等式相减，得到b的关系，由于两个等式结构相同，可视a、b为方程F-13x+〃匸()的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于“、七的对称式，这类问题可通过变形用“+乃、“巾表示求解，而非对称式

3、的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。护2【例3】己知关于x的方程：x2-(m-2)x=0X]+2,求m的值及相应的小、x2(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相界实根。(2)若这个方程的两个实根X,、七满足

4、^21=思路点拨：对于(2),先判定小、七的符号特征，并从分类讨论入手。【例4】设x}nx2是方程2”-4mx+2m2+3/w-2=0的两个实数根，当m为何值时，x/十勺?有授小值?并求出这个最小值。思路点拨：利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入

5、手，应注意本例是在一定约束条件下(△$())进行的。注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△$()这一条件，转化是一•种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。【例5】已知：四边形ABCD中，AB〃CD,/LAB、CD的长是关于x的方程x2-2mx+(m-丄)2+?=()24的两个根。(1)当m=2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由。⑵若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P,Q,PQ=1,TlABvCD,求AB、CD的长

6、.思路点拨：对于(2),易建立含AC、BD及m的关系式，要求出m值，还需运用与小点相关知识找寻CD、AB的另一隐含关系式。充满活力的韦达定理学历训练1、(1)已知可和乃为一元二次方程2x2-2x+3m-l=0的两个实根，并“和乃满足不等式恥门,兀［+兀2一4则实数加取值范围是0(2)已知关于兀的一元二次方程8x2+(//?+1)x+/h-7=0有两个负数根，那么实数加的収值范围是。2、已知a、0是方程的两个实数根，则代数式R+/0+妙2+02的值为。3、CD是R/ABC斜边上的高线,AD、BD是方程%2-6x+4=0的两根

7、，则△ABC的而积是°4、设兀

8、、七是关于x的方程x2+px+q=()的两根，小+1、七+1是关于x的方程x2+qx+p=()的两根,则p、q的值分别等于()A.1,-3B.1,3C.-1,-3D.-1,35.在RtAABC中，ZC=90°,a、b、c分别是ZA、ZB、ZC的对边，a、b是关于x的方程x2-7x+c+7=0的两根，那么AB边上的小线长是()25A.-B.-C.5D.2226^方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根X］、x2,则(+：；_+「)的值是()A.1B.-1C.--D.-227＞若关于尤的一元

9、二次方程的两个实数根满足关系式:(xj+1)+x2(x2+1)=(%i+l)(x2+1)，判断(a+b)2S4是否正确?8、已知关于兀的方程兀2_(2R_3)兀+疋+1=0。(1)当£是为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程的两个实数根“、勺满足:

10、^2

11、+^

12、=3,求£的值。9、已知方程F+Z+厂0的两根均为正整数，且p+g=28,那么这个方程两根为10、已知"、0是方程x2-x-l=0的两个根，则/+30的值为11、AABC的一边长为5,另两边长恰为方程2x2-12x+m=0的两根，则m的取值范围是12、两个质数a、

13、b恰好是整系数方程的两个根，则-的值是()abA.x2-3x-/n-2=0B.x2+3x-/?z-2=0A.9413口9413「9413厂9413ri•v-z•j•194999713、设方程冇一个正根"，一个负根七，则以

14、x)

15、n

16、x2

17、为根的一元二次方程为()14、如果方程(x-l)(x2-2x+,