数值分析译文

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1、NumericalAnalysisLloydN.TrefethenOxfordUniversityMarch20061对数值计算的需要每个人知道当科学家和工程师需要数学问题的数值答案的时候，他们就转向计算机。然而，存在着很人的关于这一个过程的误解。数值力量是特别巨大的。人们时常认为，当伽利略等定下了一项原则，对每件事物一定要进行测量，从那时起科技革命就开始起动了。数值测量导致了用数学方法表达物理定律。并且，在全部周期中，其成果都围绕着我们，精细的测量导致精确的定律，进而导致较好的技术和更精确的测量。那种离开数值数学而获得某种物理科学的进步，或获得某种意

2、义重大的工程产品发展的时代，早已过去了。在这一个故事中计算机确实扮演一个角色，不过，它们的角色是什么却存在一个误会。许多人想像，由科学家和数学家产生公式，然后，藉着将数值插入进这些公式Z内，计算机就制造出必需的结果。实际情况完全不是这样。真的进行的是执行运算法则的一个更为有趣程序。在大部份的情形下，照着公式做这件T作甚至无法完成，大多数的数学问题不能够靠一个有限步操作的序列来解决。相反的是快速算法则很快地收敛于精密到三或十位，甚至一百位的数值近似答案。对于科学或工程应用来说，这样一个答案可能和精确答案一样有用。可以举例说明正确和近似解的复杂性。假如我们

3、有一个四次多项式，p(z)=Co+C1Z+c2z2+c3z3+c4z1;而另外有一个五次多项式，q(z)=d°+diz+d2z2+忆"+d；忆"：广为人知的是：p的根可由显式(由Ferrari在人约1540年发现)求得，但是q的根却没有这样的公式(Ruffini和Abel在250年Z后；证明了它的无解性)。因此，哲学上会意义到，P和q的求根问题是完全不同的。然而在实际应用中它们却难于区别。如果一位科学家或一个数学家想要知道一个多项式的根，他将会转向一部计算机而且在小于几毫秒的时间内得到16位数值精度的答案。计算机使用了一个显式吗?在q的情况，答案肯定为

4、不，但P怎么样?也许是，也许不。大部份的时间，使用者既不知道也不关心,一百个数学家中也许找不到一个能凭记忆写下求P的根的公式。这里再举出另外三个例子，就像对于P的求根那样，它们是能用一级数初等运算求解的。(1)线性方程组：解含n个未知数的n个一次方程组。(2)线性规划：在m个线性约束下，将含n个变量的一次苗数减到最小。(1)旅行售货员问题：找到在n城市Z间的最短旅游路线。而下面的五个例题，则像对于q求根那样,通常是不能够用初等运算求解的。(2)求nxn矩阵的特征值。(3)求多变量函数的最小值。(4)计算积分。(5)解常微分方程(ODE问题)。(6)解偏

5、微分方程(PDE)。我们能否得出结论(1)-(3)在实际中将会比(4)-(8)容易？完全不是!如果n是数白或数千，问题(3)通常是非常难解的。问题(6)和(7)通常相当容易，至少如呆积分是一维的。问题(1)和(4)儿乎完全有相同的难度：当n很小的时候(例如100)比较容易，而当n大的时候，(例如1000000)就很难。事实上，在这些问题中，哲学只能对实践作很斧的指导，在问题(1)-⑶小，当n和m很大的时候，人们一般不去求精确的解，而使用近似的(但却是快速的!)解法。数值分析是研究连续问题运算法则的数学，这意味着命题包含实变量或复变量。(这个定义包括在实

6、数域定义的线性规划和旅行售货员那样的问题，但不是它们的离散对应物・)在本文的其他部分，我们将综述它的主要分支、已有成就和可能的未来趋向。2简短的历史在整个世纪中，领先的数学家已经参与了科学应用，而且在许多情况下，这已经导致今天的仍然在使用的算法的发现。髙斯就是一个杰出的例子。在许多其他的贡献中，他在最小二乘数据拟合(1795)、线性方程组求解(1809)、和数值积分(1814)方面，都推动了决定性的进步。他在发明快速傅立叶变换(1805)方面也一样，虽然后者直到1965年Cooley和Tukey把它再发现后，才变成广为人知。大约在1900年左右，在数学

7、家的研究活动中，数值分析开始变得不大活跃。因为技术上的理出，当时数学的进步主要集中在严格性的问题上。举例来说，二十世纪初期数学家的许多结果要用新的关于无穷人的严格方法來论证，这些命题和数值计算相去甚远。一代人过去了，在1940年代发明了计算机。从这时刻开始，数值数学爆炸了。但是主要地在专家手中。涌现了很多新的朵志，如MathematicsofComputation(1943)和NumerischeMathematik(1959)。这一革命与硬件交互映辉，但是它包括的却是与硬件没有多大关系的数学和算法。从1950年代起的半世纪中，计算机的速度加快了大约1

8、0〔但是某些问题闻名的最好运算法也加快了那么多。两者组合后速度的增加几乎难以置信。半世纪来，数