高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明教材习题点拨新人教a版选修2-2

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1、高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明教材习题点拨新人教A版选修2-2教材问题解答（思考）请対综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点，回顾以往的数学学习，说说你対这两种证明方法的新认识.答：综合法证明是“由因导果”，分析法证明是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法，分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，应注意两种方法在解题中的综合应用.在综合法中：①明确推证方向，选择最佳途径是综合法的难点；②在顺推中，联系最终结果进行猜想，防止迷路和剪除无用的中间过程，这是一个猜证结合点.在分析法中：①步步追溯的条件都是结论成立的充分条件（

2、当然，充要条件更好），因此,分析法的表述中都是倒箭头“U”或双箭头“O”,即为果U因，绝不可果今因；②在追溯中要时时关系已知条件戶进行猜想，选择最佳途径，这也是一个猜证结合点.当所证结论与所给条件Z间的关系不明确时，常采用分析法证明，但更多的时候是综合法与分析法结合使用，先看条件能够提供什么，再看结论成立需要什么，从两头向屮间靠拢,逐步接通逻辑思路.练习11.证明：因为cos'〃一sin'〃=（cos"&+sin"&）（cos'&—sir/&）=cos2&,命题得证.2.证明：要证托+〒＞2辺+萌，只需证（&+⑴严＞（2谑+&尸，即证6+7+2换＞8+

3、5+4倾，即证2换＞4帧，只需证（2嗣『＞（4典几即证168＞160,这是显然成立的，所以原命题成立.3.证明：因为（才一佛2=（日―方）2（日+力）2=（2$讪a）2（2tan^）2=16sin2tan2ci,又因为16^/?=16（tana+sina）（tana—sina）“sina14-cososina1—cosa~cosa•cosa一sina1—cosa・2・2sincisinci=162cosa99=16sirTtan"a,从而(/—/)'=16也所以命题成立.点拨：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习21.证明：假

4、设Z〃不是锐角，则Z〃M90°.因此Zr+Z^90°+90°=180°.这与三角形的内角和等于180。矛盾.所以，假设不成立.从而，Z〃一定是锐角.2•证明：假设住、书、&成等差数列，则2书=£+歩.所以(2筋尸=(边+&尸，化简得5=2yflOf从而52=(2^/To)2,即25=40.这是不可能的.所以假设不成立.从而，边、£、仗不可能成等差数列.习题2.2A组1.证明：由于日工0,因此方程至少有一个根x=-.a假设方程不止一个根，则至少有两个根，不妨设匿，曲是它的两个不同的根，则QX=b,ax2=b.两式相减，得臼(山一乃)=0.因为xiH也，

5、所以加一龙工0.从而曰=0,这与已知条件矛盾，故假设不成立.所以，当臼H0时，方程ax=b有且只有一个根.2.证明：因为(1+tanA)(l+tanQ=2,展开得1+tan力+tan〃+tanA•tanB=2,即tanJ+tanB=1—tanA•tanB.①因为A+B工+，所以外工■—B.因为久〃都是锐角，所以/、~B都是锐角.从而tanMHtan(—Q,所以tanA•tan狞1,即1—tanA•tan〃H0・①式变形,ternM+tanB1—tan弭tanB即tan(A+l/)=1.ji因为久〃都是锐角，所以0°

6、：本题也可以把综合法与分析法综合使用完成证明.1ton1.证明：因为=1,所以1+2tana=0,从而2sina+cosQ=0.2+tanci另一方面，要证3sin2a=—4cos2a,只要证6sinacosa=—4(cos2a—sin'a),即证2sir/a—3sinacosa—2cos'a=0,即证(2sina+cosa)(sina—2cosa)=0.由2sinci+cosci=0,可得(2sina+cosa)(sinci—2cosa)=0,于是命题得证.点拨：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.

7、2114•证明：因为禺b、c的倒数成等差数列，所以亍=bac假设〃V善不成立，即於斗，则〃是SBC的最大内角.所以b>a.b>c｛在三角形中，大角对大边)•_21T1)这与舟=丄+丄矛盾•所以假设不成立.因此bac2B组1.证明：要证s<2臼，由于s=2ab,2所以只需要证s<+即证b

8、①②，得2ay+2cx=a(b+c)+c(已+Z?)=ab+2ac+be,xy=(日+力)(