高中数学5.2含有绝对值的不等式5.2.2含有绝对值的不等式的证明知识导航学案苏教.

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1、5.2.2含有绝对值的不等式的证明自主整理1•对于任意两个实数a、b,设它们在数轴上的对应点分别为A、B,那么

2、a-b

3、的几何意义是，即线段AB的2.绝对值不等式的性质.+lbl,当且仅当a+b

4、,当且仅当+

5、b

6、,当且仅当

7、a

8、-

9、b

10、,当且仅当“一”⑴

11、a+b

12、(2)

13、a

14、-

15、b

16、(3)

17、a-b

18、(4)

19、a-b

20、3.三个实数的绝对值不等式.时取

21、a-c

22、W

23、a-b

24、+1b-c

25、,当且仅当高手笔记1.含有绝对值的不等式的性质定理推广：(1)

26、ai+a2+a3

27、

28、ai

29、+

30、a2

31、+

32、a3

33、;(2)

34、ai+a2+a3+・・・

35、+aJW

36、ai

37、+

38、a2

39、+—+

40、an

41、.2.在应用含有绝对值的不等式求某些函数的最值吋，--定要注意等号成立的条件.名师解惑对绝对值不等式的几何意义的理解.剖析:绝对值不等式

42、a

43、-

44、b

45、^

46、a±b

47、^

48、a

49、+

50、b

51、的实质是两个实数的和、差的绝对值与绝对值的和、差的关系•用向量a、b替换实数a、b时，问题就从一维扩展到二维.当向量a、b不共线吋,a+b、a>b构成三角形，有

52、a+b

53、<

54、a

55、+1b

56、.当向量a、b共线吋，若a、b同向(相当于ab^O),

57、a+b

58、=

59、a

60、+1b

61、;若a>b异向(相当于ab<0),

62、a+b

63、

64、<

65、a

66、+

67、b

68、.这些都是利用三角形的性质定理，如两边之和大于第三边等•这样处理，对以形彖地描绘绝对值三角不等式,更易于记忆和利于定理的应用.绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的“尺度”还要仔细把握，如不等式

69、a

70、-

71、b

72、^

73、

74、a

75、-

76、b

77、

78、^

79、a+b

80、^

81、a

82、+

83、b

84、也成立，因为

85、a

86、-

87、b

88、不一定是正数.讲练互动【例1】若a丄和丄〉丄均不成立a-ba

89、a\bC.不等式一^>丄和(a+-)2>(b+-)2均不成立a-babaD.不等式丄〉丄和Q+丄)2

90、>(b+-)2均不成立

91、a

92、

93、h

94、ha解析:Va0,a~b>a.又Va-b<0,a<0,・•・<丄，即>-不成立.故B正确.a-baa-ba由a

95、a+—I>

96、b+—I,即（a+丄尸>（b+丄）1baba故C、D错.答案:B绿色通道本题利用不等式的基本性质及绝对值的定义进行推导判断.变式训练1.设ab>0,下列四个不等式:①

97、a+b

98、>

99、a

100、,（2）

101、a+bIVIb

102、

103、,③

104、a+b

105、<

106、a-b

107、,④

108、a+b

109、>

110、a

111、-

112、b

113、中正确的是（）A.①②B.①③C.①④D.②④答案:Ch【例2】设m等于

114、a

115、、

116、b

117、和1中最大的一个，当

118、x

119、>m时,求证：

120、—+~7I<2.XX分析:本题的关键是如何使用等于

121、韵、小

122、和1中最大的一个”这一条件，而41、

123、b

124、.1哪一个最大,会有三种不同的情况，较复杂,但不管谁最大，总有m>

125、a

126、,m>

127、b

128、,m^l成立,而f+2丨©£1+1釦，只需比较Ia

129、与

130、x

131、的大小和

132、b

133、与阳的大小关系即可.xXX证明:由题意，知m^

134、a

135、,m^

136、b

137、,mNl,又V

138、x

139、

140、>m,/.IxI>IaI.I—I<1.•/IxI>m>

141、bI,I—I<1.•・・

142、x

143、>mNl,・•・一<1.

144、x

145、Icibi^i^iII1^11^11iv、一••I—+-—W

146、—+—

147、=I—

148、+—I•<1+1=2成乂.xxjrxxIx绿色通道分析题目时,题目中的语言文字是我们解题的信息來源与依据•而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言中“翻译”转化过来，准确地理解题目屮的文字语言，适当地进行转化也就成了解题的关键•如本题题设条件中的文字语言“m等于°

149、、山I和1中最大的一个”转化为符号语言山

150、、niMl”是证明本

151、题的关键,但如果分情况讨论就太麻烦了.变式训练2.已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a>bWR)的定义域为[T,l]•⑴设

152、f(x)丨的最大值为m,求证:;(2)在⑴中,当m=—时,求f(x)的表达式.2(1)证明:Vf(x)=x2+ax+b,x[-1,1]且

153、f(x)

154、Wm,・・・4mM2

155、f(0)

156、+

157、f(l)

158、+

159、f(-l)I=2

160、b

161、+

162、1+a+b

163、+

164、l-a+b

165、3

166、(1+a+b)+(1-a+b)-2b

167、=2.・>1⑵解：由m二丄，得

168、f(0)

169、二22.・・-丄WbW2①同理，-丄Wl+a+bW丄，-丄W1-

170、a+bW—•2222两式相加，得-lW2+2bWl,3・・・--WbW-2②当b=-—时,由-1Wl+a+bW—222③1由1W1-a+bW~22由①②得冷④由③④得a二0.一1WaWO;f(x)=x2-—.2【例3】已知a、beR,a^0,求证:2a22分析:本题要证的不等式包含b+b

171、、

172、a-b