拓扑空间中的不动点定理及其应用

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1、第15卷第4期上海科技大学学报Vol・15,Ni・41992年12月JournalofShanghaiUniversityofScienceandTechnologyDec.1992®拓扑空间中的不动点定理及其应用【提赛】本文获得了柘扑空间中几个不动点定理.应用所得的结果，可把一些重要竹不动点定理与随机不动点定理作统一处理，并简化了非线性规划中沿独止方向极小化算法的收敛性定理的务件，推出了随机紧致度量空间中的Edelstein压维映象的不动点定理.关键词$映射9随机泛函.柘扑空间•闭映射0引言近年来，不动点理论的发展是迅速的.人们在各种空间上，或者在具有某些特性的集合上

2、，建立一些各种类型的映身打得到了一系列的不动点定理•应用这种想法，在本文中，把一般的连续映射，推广为随机的连续映射，得到拓扑空间几个新的不动点定理.重要的是把所得到的结果，应用于简化文献[1]中非线性规划中沿独立方向极小化算法的收敛性定理的条件，同时也把所得的结果应用到紧致的随机度呈空间上，得到关于Edelstein®压缩映象的不动点定理.1主要结果定义1设X是拓扑空间，AiX^・⑴如果对于任何”L才必€師都有yGA(x),则称A是闭映射.W如呆无则称"是4的不动点.设

3、0,8]}.定义2⑶设(©，九P)为完全概率空间，S是非空集，RiSxS^L^Q),如果对于V心珀n€S,使得{RM—1)Rgy)Ca>)=0a・s=x=y本文收到口期'1991牛12月10日)1992年4月2日收到修改犒(ZTM—2)a^s(PA5—3)尺(才・妙2)WR(gz)3)4R(z川)(oOas则称(S,K)足以完全槪率空间&,A,P)为基的随机度凰空间，俺称RM空间.注1RM空间上的拓扑均指以概率度凰诱导的一致拓扑・•定理1若X是拓扑空间.AiX^zx是闭映射.如果存在连续的随机泛函aiX^E{E是以完全的概率空间(Q,4,F)为基的全休几乎处处有限实值随

4、机变量等价类所成的随机度量空间)使得a®Wag,adfUgYx^Xt且xg对于任何固定的r0GX,按如下取序列{"}$肚€必(并)时，取x^A(Xk)时，取““€>!("),如果{坯}是列紧的，则的每一个收敛子列的极限点汕是4的一个不动点.证明设{“，}是{“}的一个收敛子列，即limr^.z±x*t情形1若存在K。使得“疋加壮〉则令r=g当KmK°Ax*=rxox*6A(x^)・情形2若对于任何非负整数K,有"毛Z("),由题设得冰“)，K",1,2，…又因为a：X^E是连续的，・••a(J)Wa"叫)心1,2,・・・，K=0,l,2,…，且V^>0,A>0,存在正整

5、数几当：>/时PiIa(xKt)-a(x*)

6、<^}>1-A现在设5“则a(xK)

7、<£}=P{a(xK)-a)x*)<£>=P{a(“)-+a(xXj)-a(xe))<£}MP{S(r)-ag»〉V^}+P{S(%)-aX))V^}-l=l+P{(a(XKx)-a(x»))<^}-1>1-AAlima(rjc)=a(xe)下证x^eA(x^).如果W4(6则存在且xK.^EA(xKf).7{xk列紧，••・&“」也是列紧的，则{壮厂】}有收敛子列「不妨记此收敛子列就是仪6“人即lim“I=g—901因为4是闭映射，

8、AK6>4(z*),又Vz*A(x^,由假设a(M)*a(h)・另一方面，由于a是连续的，:.a(y)=limff(x>+1)=lima(xK)=a(z*)矛盾./.x*6A(x^),因此xe是人的一个不ir—1k—«•动点.应用随机度虽空间理论熟知的知识可得推论1在定理1中取sXfR连续，则定理1的结论为真.定理2设X是拓扑空间，T、XtX是连续映射，如果存在连续随机泛函"XfE使得a(T^)^a(x),V%€X、x^Tx・对于任何固定的%o€X,取x^x-Txk9^=1,2,-,则{"}的每一收敛子列的极限点"是F的一个不动点.证明设匕叫}是{和}的一个收敛子列，即

9、limxk.=x*i«>8'请形1若存在使得则xkqfKyK。•・・"二"。是T的不动点.情形2若对于任何的非负整数K,"乐“、由题设K=°,1,2,…，•:a：XfE是连续的，:.a(z*X(7且V^>O,A>0,存在正整数19当5时，P{

10、a(xr.)-a(xe)1K“则a(rx)^a(XAj)r/.P{

11、

12、<£}=P{a(xs)-a(xe)V討-1=1+P{a{xKl>>-a(才•)