分析拓扑意义下的不动点定理

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1、分析和拓扑意义下的不动点定理卢步亮（西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃兰州７３００７０）摘要：本文从分析和拓扑的角度总结了一系列不同空间中的不动点定理和其中一些定理的证明及应用.关键词：不动点定理；同伦；同调.中图分类号：O18FixedpointtheoremsintheviewofanalysisandtopologyLUBuliang(CollegeofMathematicsandInformationScience,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,GanSu,Ch

2、ina)Abstract:Inthispaper,wediscussaseriesoffixedpointtheoremsondifferentspacesintheviewofanalysisandtopology.Especially,theproofsandapplicationsofsomefixedpointtheoremsaregiven.Keywords:Fixedpointtheorems;homotopy;homology不动点理论实质上是方程解的存在性与解的个数的理论.反之,方程解的存在性与解的个数问

3、题实际上就是不动点的有无问题和不动点的个数问题.早在1799年，Gauss的代数基本定理的证明中已经运用根的重数与映射的同伦这两个概念.1881-1886年Poincare的ODE的定性理论的一系列论文研究了闭曲面上向量场的奇点，相当于恒同映射类的不动点.他对于孤立奇点引进了指数这一概念并证明了Lefschetz定理的一个特例.上世纪初，荷兰的直觉主义拓扑学家Brouwer引进了闭n维流形之间的映射的映射度，把指数的概念从二维推广到n维.1923年，Lefschetz发现了Lefschetz定理，他最初提出的只限于X是一

4、个能定向的闭流形，后来瑞士数学家Hopf打破了流形这一限制，对齐性的连通的多面体X，可贵的是，更容易的证明了这一定理.再看不动点的个数问题，Lefschetz定理只解决了在L（f）≠0这条件下有不动点的问题.1927年，丹麦数学家的Nielsen关于能定向的闭曲面X的具有映射度=±1的自映射f的不动点类理论，德国的Wecken同时打破了X是不闭曲面或齐性的多面体这一限制.继而考虑X是任意的有限的连通的多面体.法国数学家Leray1950年指出不动点类理论在PDE理论中的应用.英国数学家Newman提到Nielsen在研究

5、曲面的自映射的不动点时运用了曲面的基本群与其他同伦群的运用将促使不动点理论得到实质性的发展.1962年前后，我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人的工作大大推广了可计算尼尔森数的情形，并得出Lefschetz不动点定理的逆定理.为什么他们的工作常常有意义，令人深省.至于不动点理论的历史进展，可参阅[1].§1．基础知识本节简要介绍文中即将用到的基础知识，包括基本群、同调群、半序集．1.1基本群基本群也称为一阶同论群,其基本思想是将拓扑空间中以某点作为基点的所有闭道路按道路的同伦等价关系分类，在这些等价类做成的集合上定义类的

6、“乘法”，使其构成群,称为拓扑空间的基本群,它是拓扑不变量,又是同伦不变量.下面简要介绍基本群的构成过程.定义1.1拓扑空间Χ内的一条道路是指一个连续映射γ:I→X，其中I=[]0,1，点γ(0)与γ(1)分别叫作道路γ的起点和终点．若Χ的一条道路γ:I→X满足条件γ(0)=γ()1，即起点和终点相同，则称γ为Χ的一条环路(也叫闭道路)，γ(0)叫作这环路的基点．−1若γ是一条道路（环路），则由下式确定的γ也是道路（环路）：−1()γ(t)=γ1−t,0≤t≤1称为γ的逆道路（逆环路，它与γ有相同的基点）．若α和β是两条

7、道路，且α()1=β(0)，则可定义它们的乘积道路α∗β为：α(2t),0≤t≤1,⎧2α∗β=⎨β()2t−1,1≤t≤1,⎩2特别地，对于基点相同的环路α和β，α∗β为与α和β基点相同的环路．定义1.2设α，β:I→X是Χ的两条道路，若存在连续映射H:I×I→X，使H(0,t)=α(t),H(1,t)=β(t),∀t∈I,则称道路α同伦于β,记为H:α~β,连续映射H叫做α到β的同伦．道路α同伦于β的直观几何意义为：α可通过连续变形变到β，而H表示了这个连续变形过程．具有相同基点的所有环路在上述乘法和逆的定义下不能构

8、成一个群，但是经过用“同伦”将所有环路分类后就能到一个群——基本群．引理1.2空间Χ内具有相同基点的全体环路构成一个集合，则环路的同伦是这集合上的一个等价关系．证明见[**********************]．定义1.3将具有相同基点p∈X的所有环路按同伦这一等价关系分成等价类，称这种等价类为同伦类，记α所属的