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1、分类号O177.2编号2012010602毕业论文题目Bananch不动点定理及其应用学院数学与统计学院姓名朱龙龙专业数学与应用数学学号281010602研究类型研究综述指导教师代丽芳提交日期2012年5月25日原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名：年月日论文指导教师签名：Banach不动点定理及其应用朱龙龙(天水师范学院数学与统计学院,甘肃
2、天水741000)摘要:本文介绍了不动点定理(压缩映射原理).首先利用不动点定理给出了求解数列极限的方法,其次证明了积分第一中值定理,并将其推广,最后证明了微分方程解的唯一性.关键词:数列极限;积分第一中值定理;压缩映射;不动点定理FixedPointTheoremAndTt’sApplicationsZHULonglong(DepartmentofMathematics,TianshuiNormalUniversityTianshuigansu741000)AbstractAfixedpointtheorem(contractionmappingprinciple).Firstuse
3、ofthefixedpointtheoremtosolvetheserieslimit,followedproofoftheFirstIntegralMeanValueTheoremandpromotionit,finallyprovedtheuniquenessofDifferentialEquationson.KeywordsSerieslimit,FirstIntegralMeanValueTheorem,contractionmapping,fixedpointtheorem目录0引言11不动点原理11.1基本概念11.2Banach不动点的内容12不动点在求数列极限中的应用2
4、3不动点定理在积分中值定理证明中的应用34不动点在证明微分方程解得存在性和唯一性中的应用65小结8参考文献9致谢10数学与统计学院2012届毕业论文不动点定理及其应用0引言不动点原理在整个分析学中有着极其重要的作用.通过对它的学习我们重新对所学的一些知识有了进一步的理解.文章就给出了不动点原理在数学分析、微分方程中的应用.并推广了书中某些定理.1不动点原理1.1基本概念定义设是任意给定的完备的距离空间,如果有映射存在常数使得则称是一个压缩映射.定义对任给的度量空间及映射.如果存在使得则称为映射的不动点.定义（列）给定,若对任取的有自然数使得对都成立则称序列是列.定义（完备度量空间）给定
5、,若中任意一列都收敛,则称它是完备的.1.2Banach不动点的内容定理（不动点原理）设是完备的距离空间,是由到的自身的映射,并且对于任意的,不等式成立,其中是满足不等式的常数.那么在中存在唯一的不动点,即存在唯一的,使得.证分两部分来证明该定理先证明不动点的存在性在任取一定点,并令我们证明是中的一个基本点列.事实上10数学与统计学院2012届毕业论文一般地,可以证明于是根据假定,,故于是是基本点列.由于完备,故收敛于中某一点且由不等式(3)可知,是连续映射.在中令,得到因此是的不动点.再证明不动点的唯一性.另有使则由于,故,即,唯一性成立证毕定理（压缩映射原理）任给数列,若有常数使得
6、对一切的都有则数列收敛.证只需证明是列,从而说明收敛为此,对任意的考虑=所以是列,从而收敛.到此整个文章所需要的基本定理及概念叙述完毕.下面将主要讨论其在数学的其它分支中的应用.2不动点在求数列极限中的应用基本思想：通过对数列构造一个新的函数10数学与统计学院2012届毕业论文,使其在对应区间保持连续且可导,其导数满足.再使用中值定理证明所构造的函数是压缩映射的,这就意味着在区间上有不动点,即且改点是唯一的.例1设,试证收敛,并求极限.证按照上述基本思想进行证明求解依题设构造函数易见在连续且可导.由于故当时则由知现在考虑:从而为压缩映射.由定理1.1.2知收敛.下求该数列极限,设其极限
7、为,则由的连续性得即得和（舍去）.3不动点定理在积分中值定理证明中的应用积分第一中值定理是积分学的重要定理,为进一步学习函数的性态奠定了基础.它的主要内容有:定理设有函数和在上分别连续,且在符号恒定,则在中至少存在一点使得当取时就会得到一般的积分中值定理,其内容如下:定理（积分第一中值定理）若在上连续,则在中至少存在一点10数学与统计学院2012届毕业论文使得.上述定理中的点是至少有这样一个点,那么能否加强某个条件使得这样的点是唯一的.这样在计
