信号与系统课件--§7.2 系统的稳定性

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1、§7.2系统的稳定性一、稳定系统的定义一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(BoundInputBoundOutput------BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。即，若系统对所有的激励

2、f(.)

3、≤Mf，其零状态响应

4、yzs(.)

5、≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。（1）连续系统稳定的充分必要条件时域：S域：若H(s)的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。对于因果系统若H(s)的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定系统。（2）离散系统稳

6、定的充分必要条件时域：Z域：若H(z)的收敛域包含单位圆，则该系统必是稳定系统。对于因果系统若H(z)的极点均在单位圆内，则该系统必是稳定系统。举例例1y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)=f(k-1)(1)若为因果系统，求h(k)，并判断是否稳定。(2)若为稳定系统，求h(k).解(1)为因果系统，故收敛域为

7、z

8、>2，所以h(k)=0.4[0.5k-(-2)k]ε(k)，不稳定。(2)若为稳定系统，故收敛域为0.5<

9、z

10、<2，所以h(k)=0.4(0.5)kε(k)+0.4(-2)k

11、ε(-k-1)例2：如图离散因果系统框图，为使系统稳定，求常量a的取值范围解：设加法器输出信号X(z)X(z)z-1X(z)X(z)=F(z)+z-1aX(z)Y(z)=(2+z-1)X(z)=(2+z-1)/(1-az-1)F(z)H(z)=(2+z-1)/(1-az-1)=(2z+1)/(z-a)为使系统稳定，H(z)的极点必须在单位园内，故

12、a

13、<1二、连续因果系统稳定性判断准则—罗斯-霍尔维兹准则对因果系统，只要判断H(s)的极点，即A(s)=0的根（称为系统特征根）是否都在左半平面上，

14、即可判定系统是否稳定，不必知道极点的确切值。所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式。1、必要条件—简单方法一实系数多项式A(s)=ansn+…+a0=0的所有根位于左半开平面的必要条件是：（1）所有系数都必须非0，即不缺项；（2）系数的符号相同。例1A(s)=s3+4s2-3s+2符号相异，不稳定例2A(s)=3s3+s2+2，a1=0，不稳定例3A(s)=3s3+s2+2s+8需进一步判断，非充分条件。2、罗斯列表将多项式A(s)的系数排列为如下阵列—罗斯阵列第1行anan-2an-4

15、…第2行an-1an-3an-5…第3行cn-1cn-3cn-5…它由第1，2行，按下列规则计算得到：…第4行由2，3行同样方法得到。一直排到第n+1行。罗斯准则指出：若第一列元素具有相同的符号，则A(s)=0所有的根均在左半开平面。若第一列元素出现符号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。举例例1A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2罗斯阵列：212218028.502第1列元素符号改变2次，因此，有2个根位于右半平面。注意：在排罗斯阵列时，可能遇到一些特殊情况，如第一列的某个元素

16、为0或某一行元素全为0，这时可断言：该多项式不是霍尔维兹多项式。例2已知某因果系统函数为使系统稳定，k应满足什么条件？解列罗斯阵列331+k(8-k)/31+k所以，–10，不难得出，A(s)为霍尔维兹多项式的条件为：a1>0，a0>0三、离散因果系统稳定性判断准则—朱里准则为判断离散因果系统的稳定性，要判断A(z)=0的所有根的绝对值是否都小于1。朱里提出一种列表的检验方法，称为朱里准则。朱里列表：第1行anan-

17、1an-2……a2a1a0第2行a0a1a2……an-2an-1an第3行cn-1cn-2cn-3……c1c0第4行c0c1c2……cn-2cn-1第5行dn-2dn-3dn-4……d0第6行d0d1d2……dn-2……第2n-3行r2r1r0第3行按下列规则计算：…一直到第2n-3行，该行有3个元素。朱里准则指出：A(z)=0的所有根都在单位圆内的充分必要的条件是:(1)A(1)>0(2)(-1)nA(-1)>0(3)an>

18、a0

19、cn-1>

20、c0

21、dn-2>

22、d0

23、……r2>

24、r0

25、即，奇数

26、行，其第1个元素必大于最后一个元素的绝对值。特例：对二阶系统。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得A(1)>0A(-1)>0a2>

27、a0

28、举例例A(z)=4z4-4z3+2z-1解排朱里列表4-402-1-120-4415-140440-1415209-21056A(1)=1>0(-1)4A(-1)=5>04>1，15>4，209>56所以系统稳定。