信号与系统 连续时间lti系统的稳定性

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1、§5.7.4连续时间LTI系统的稳定性一．系统稳定性的定义系统稳定定义为任何有界的输入将引起有界的输出，简称BIBO稳定（BoundedInputBoundedOutput）连续时间LTI系统为因果系统的充要条件为连续时间、因果LTI系统稳定的充要条件是冲激响应绝对可积，即系统稳定性是系统本身的特性，与输入信号无关。连续时间LTI系统稳定性的问题和系统因果性是密切相关的，这里只考虑因果系统的稳定性。（1）当H(s)的所有极点全部位于平面的左半平面，不在虚轴上，则系统是稳定的。（2）当H(s)在平面虚轴上有一阶极

2、点，其余所有极点全部位于平面的左半平面，则系统是临界稳定的。（3）当H(s)含有右半平面的极点或虚轴上有二阶或二阶以上的极点时，系统是不稳定的。由系统函数的极点分布可以判断连续时间、因果LTI系统系统稳定性二．系统稳定性的判断H(s)的假分式时，不稳定。H(s)的真分式，有可能稳定。由系统函数判断连续时间、因果LTI系统系统稳定性二．系统稳定性的判断当系统的参数都是给定具体数值时，当然可以应用上面讨论的方法，计算出系统函数的每一个极点，然后根据极点位置来判断系统是否稳定。但在系统有参数是未定，或需要判断系统参数

3、满足什么条件下系统是否稳定一类问题时，应用上面的方法就很不方便了。必须借助于其他稳定性的判别方法劳斯（Rooth)判据霍尔维茨(Horwitz)判据简单详细介绍这两个判据，然后介绍由这两个判据得到的适用3阶或3阶以下系统稳定的简化的判别方法。霍尔维茨（Hurwitz）判断法设阶连续线性时不变系统的系统函数为其中，，与均为实常数。的各项系数都不等于零，并且全为正实数或全为负实数。系统稳定的必要条件是：霍尔维茨多项式：【例5-7-5】已知系统函数如下，试判断该系统是否稳定？；解：（1）分母多项式即有正系数有负系数，

4、所以系统不稳定；（2）分母多项式中缺项，所以系统不稳定；（3）分母多项式满足稳定系统的必要条件，但是否稳定还需进一步分解检验。对进行因式分解，得可见，有一对正实部的共轭复根，所以该系统不稳定。罗斯（Routh）判断法设阶连续线性时不变系统的系统函数为其中，，与均为实常数。的分母多项式为将各项系数排成罗斯表，即罗斯阵列前两行由多项式的系数构成。第三行以后的系数由递推式计算。依此类推，将罗斯表列出。如果是阶系统，行。罗斯表就有罗斯准则为：（1）阵列中首列元素同号时，其根全位于左半平面，则系统为稳定系统；右半平

5、面根，右半平面根的个数（2）阵列中首列元素有变号时，则含有为变号次数，则系统为不稳定系统。通常联合使用罗斯—霍尔维茨准则：（简化判别过程）(1)使用霍尔维茨准则剔除不稳定的系统。(2)满足霍尔维茨准则的，还不能确定系统的稳定的性。可以罗斯准则最终确定其稳定性。则有即罗斯阵列为【例5-7-6】已知某因果系统的系统函数为，应该满足什么条件？为使系统稳定，要使系统稳定，有的系数必须全部大于解：要使系统稳定，则故，【例5-7-7】对于三阶系统，分母多项式为应该满足什么条件？为使系统稳定，解：若，不难得出，系统稳定的必要

6、条件为列写由罗斯阵列使系统稳定，根据罗斯判据即二．系统稳定性的判断（1）一阶系统，显然只要参数满足即为稳定。为临界稳定。（3）三阶系统必须满足条件且系统才是稳定的（2）二阶系统只要参数满足即为稳定。或属于为临界稳定。假设系统函数分母多项式的最高项系数为1三阶以下系统稳定的判定的充要条件二．系统稳定性的判断例：设系统方框图如图所示，求（1）系统函数H(s)（2）系统稳定，参数K满足的条件解：由Mason公式可以很容易求得系统函数为二．系统稳定性的判断由系统函数可知，系统属于3阶，所以系统稳定要满足的条件为并且即二

7、．系统稳定性的判断例：设运放是理想的，求电路系统的：（1）系统函数（2）为使电路系统稳定，求K值范围（3）欲使电路临界稳定，求K值以及此时电路的冲激响应h(t)二．系统稳定性的判断解：（1）对节点U3列写节点方程同时有由上述两方程容易求得二．系统稳定性的判断（2）显然，系统稳定条件为（3）临界稳定时，，这时所以系统的冲激响应为作业2013-6-20P1835-15，5-17