信号与系统课件--§4.11 离散傅里叶变换及其性质

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1、§4.11离散傅里叶变换及其性质离散傅里叶变换DFTDFT与DTFT、DFS的关系DFT的性质离散信号分析和处理的主要手段是利用计算机去实现，然而序列f(k)的离散时间傅里叶变换F(ej)是的连续函数。为便于计算机去实现，引入离散傅里叶变换(DiscreteFourierTransform,DFT)一．离散傅里叶变换(DFT)借助周期序列DFS的概念导出有限长序列的DFT。将有限长序列f(k)延拓成周期为N的周期序列fN(k)若将f(k)，F(n)分别理解为fN(k)，FN(n)的主值序列，那么，DFT变换对与DFS变换对的表达式完全相同。例二、DFT与DTFT、DFS的关系（1

2、）离散傅里叶变换DFT是为了便于用计算机近似计算离散时间傅里叶变换DTFT而引入的。因此，DFT与DTFT存在一定关系，其关系为F(n)是对F(ej)在2周期内进行N次均匀取样的样值，即F(n)=F(ej)（2）若周期序列fN(k)看作有限长序列f(k)以N为周期拓展而成，则fN(k)离散傅里叶级数DFS的FN(n)与f(k)离散傅里叶变换DFT的F(n)在0~N–1范围相等。例三、离散傅里叶变换的性质1.线性若f1(k)←→F1(n)f2(k)←→F2(n)则a1f1(k)+a2f2(k)←→a1F1(n)+a2F2(n)2.对称性若f(k)←→F(n)则F(k)←→Nf((

3、–n))f((–n))应是f(n)周期拓展之后反转——称圆周反转。3.时移特性圆周位移（循环位移）：将有限长序列f(k)周期拓展成周期序列fN(k)，再右移m位，得到时移序列fN(k–m)，最后取其主值而得到的序列称为f(k)的圆周位移序列，记为f((k–m))NGN(k)时移特性若f(k)←→F(n)则f((k–m))NGN(k)←→WmnF(n)证明4.频移特性（调制）若f(k)←→F(n)则W–lkf(k)←→F((n–l))NGN(n)5.时域循环卷积（圆卷积）定理线卷积：有限长序列f1(k)和f2(k)的长度分别为N和M，则两序列的卷积和f(k)(称为线卷积)仍为有限长序列

4、序列，长度为N+M–1。循环卷积：有限长序列f1(k)和f2(k)的长度相等，均为N，则f1(k)与f2(k)的循环卷积定义为循环卷积结果的长度仍为N。若两序列长度不等，采用补零法。例借助循环卷积计算线卷积循环卷积便于利用数字计算机进行计算。为借助循环卷积求线卷积，要使循环卷积的结果与线卷积结果相同，可以采用补零的方法，使f1(k)与f2(k)的长度均为L≥N+M–1则循环卷积与线卷积的结果相同。时域循环卷积定理若f1(k)←→F1(n)f2(k)←→F2(n)则f1(k)*f2(k)←→F1(n)F2(n)6.频域循环卷积定理若f1(k)←→F1(n)f2(k)←→F2(n)则f1

5、(k)f2(k)←→F1(n)*F2(n)7.巴塞瓦尔定理若f(k)←→F(n)则表明，在一个频域带限之内，功率谱之和与信号的能量成比例。