两个随机变量的和与商的分布函数与密度函数

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1、(1.1)(1.2)于是^(z)=nJ-00J・由概率论定义，即得z的概率密度为zpzp+OC*/(w-y,y)dudy=[f(u-y.y)dy]du一J—00J—00(1.3)-00E⑵f(z-y.y)dy注意：积分限为一8到+8(1.4)两个随机变量的和与商的分布函数与密度函数、两个随机变量的和的分布设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),现求Z二X+Y的概率密度。令Dz={(x,j)

2、x+y

3、(J/(X,yWdyJ—coJ—oo固定z和y对积分宓作换元，令无+)，=%,得「〉/(x,y)dx=「f(u-y,y)duJ—00J—co由x与Y的对称性，又可得/•■Foo注意：积分限为-8到+00(1.5)/z(z)=j_^f(x,z-x)dx(1.4)与(1.5)相当于分别在x=z-yy-z-x条件下，求X或Y的边缘概率密度。特别的，当X与Y相互独立吋，有(1.6)E⑵=广心(z-y)fY(y)dy=厂fx(无)齐(z~兀皿J—COJ—00其中，/x(x)、办(刃分别是X和Y的边缘概率密度。式(1.

4、6)乂称为％(兀)和fY(y)的卷积公式，常记为fx(z)^fY(z)o因此式(1.6)乂称为独立随机变量和的分布的卷积公式。二、两个随机变量的商的分布y设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),现求Z=y的概率密度，Z的分布函数为込⑵=P{Z°)‘广/(x,y}dx=「yf(yu,y)duJ—00J—coJJ/(-v,y)dx

5、dy=匚03,y)dudyrz「+oo=J_ooJ0yf(y^y)dydu类似的可得jj/(x,y^dxdy=£广/(x,y)dxdy=-「『#(^,y)dyduJ—00J—00故有Fz⑵=j

6、/(.r,y)cbcdy+JJ/(兀,y)dxdyDD.rzf+srO=J*[Joyf(y^y)dy一J=yf(y^y)dy]du=匚[口旳/()必,y)dy]duY由概率密度定义可得Z=y的概率密度为7z⑵=^yf(yz,y)dy7z⑵二LJy

7、/(w,必fy特别的，当X与Y相互独立时，有=匚卜

8、・/%(WX/

9、y%-HX)-oo(2.3)(2.4)(2.5)(2.6)(2.7)第四节随机变显的相互独立性定义设(X.门是二维隔机变:若工与》的联合分布衿于边绒分布的收枳.則称X与『相互独之.若(儿))的分布馬款为Fix.n.关「匚)的灼绝勿布西融为尸/丫)、F冷).眦与y相互独立的充要条件是m■心(・)•片⑴.对干二徴蛊敢t隔叽变flh.V.门，.V与门(1互独立的充爰*件是。含分充題务干边録分布厲的婆帜，即P[X=r=v,}=P{.V=Y}P{1=1}J=I对干二维连席塑靖机变IrV,几丫与】相互腔立的充朝*件是联

10、合陌率帝麼等于边綽陽墓密麼的年枳.即(■8«*«+Sf(tr)=/x(r)fr(v)

11、■8VV<+0051?设靖机5t.V与】糊互虺立.刪i；对任倉常思S・b.r.d.爭件S丫创与“Y以相互腔立丫2)对任意常如b.g水陽机变塑aX^b与d-r/>g互強立：(3)¥与户相互住立U)对任总理咚西着爪g・fifi叭变串加门与刎门相互堆立・三、二维连续型随机变站的边缘概率密度设(a・n的野仝峙审密建为/(v.j・则关f.v的边缁分布臥號为关于T豹边致概理密麼为叮皿!山(Yfy问理.关于】•的边缘槪車孫度为>/g(v

12、)=J/(V.v)(tx(Y，v<-HZ).