数值分析题目一

《数值分析题目一》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、数值实验6.1观察Lagrange插值的Runge现象一、实验目的对于等距Lagrange插值，当插值节点数太多时，差值多项式并不能收敛到被插函数/（兀）,而是在区间两端会产生剧烈振荡的Runge现象。木实验的目的就是验证这种Runge现象。二、实验步骤试验屮取插值函数为=其中。是常数。插值节点去区间[-5,5]的等距节点，对于〃阶插值多项式，步长节点为n母•=西+力伙-1），«=12…S+1），所得至U的斧值多项式为w=£/（x,）ij^o对于〃阶插值多项式，改变插值的阶数，可以&=1/=!兀t

2、—旺得到不同的差值多项式，从而可以观察随阶数变化而产生的Runge现象。三、程序与结果1、程序%外部输入差值阶数蚩数◎的值%调用子程序1.1、Runge现象主程序:12_3-4-5_6-Efunctionrun?e=runge(n,a)Hfori=l:1001x(i)=-5+(i-l)*0.01;y(i)=runge_sub(x(i)a);endplot(k,y)1.2、Lagrange插值多项式计算程序:12-3-4—5-6-I8-9-10-11-12-13-14—15-FfunctionIt=

3、runge_sub(x?a)%Lagrange差值多I页式子程序h=10/n;%步长lt=0;li=l;□fori=l:(n+l)rjforj=l:(n+1)ifj==ili=li*l;elseli=li*(x-(-5+(j-1)*h))/((i-j)*h);endendlt=lt+li*5/(aA2+(-5+(i-l)*h)*2);li=l;end1・3、生成多条差值曲线程序:1一x=[-5:0.1:5];2-a=l;%被插函数中蚩数a的取值3一y=(a"2+x."2).5;4一plot仗,y

4、,':r')5—holdon6一runge(2Ja);7一holdon8一run沪(3,a);9一holdon10一runge(4,a);11一holdon12一runge(8Ja);13一holdon14一runge仃0,a);15-XlabelCxto')16一ylabelCy轴’)17-titleCLagrange等距差值的Rung己现象')2、计算结果图3.1心町心£的插值结果，其中红色虚线表示的是/心吕’中间两条没有出现Runge现象的曲线的阶数口下至上为2和3,其余几条曲线口上而下分別

5、对应于4、8、10阶插值曲线图3.2a=2时f(x)=的插值结果，其中红色虚线表示的是/(x)=-^-^,中间2~+jr2+q两条没冇出现Runge现象的曲线的阶数自下至上为2和3,其余儿条曲线自上而下分别对应于4、8、10阶插值曲线图3.3a=3^f(x)=^-^的插值结果，其中红色虚线表示的是/(x)=中间3-+广3~+x~两条没有出现Runge现彖的曲线的阶数口下至上为2和3,其余几条曲线口上而下分別对应于4、8、10阶插值曲线图3.4心时/心宀的插值结果，其中红色虚线表示的是/心总0.02

6、25Lagrange跖崔值的Runge现象0.0220.0215<0021•f//<7///；0.02050.020.0195・5・4・3・2・1012345x轴图3.5a=5时/⑴二占［兀2的插值结果,其屮红色虚线表示的是/(x)=—__715+xX轴5lOO?+/图3.662=100吋f(x)=的插值结來，其中红色虚线表示被插函数四、结果分析1、从图3.1、图3.2可以明显看到，〃和〃时，Runge现象很明显，在边界上振荡很剧烈。因此，当阶数很高时，采用等距Lagrange插值是不可取的。2

7、、当参数。逐步增大时，可以看到，Runge现象被明显削弱，比较图3.2和图3.3就可以看出有很人不同，但是，参数。增大以后，函数值也随之减小。而且，分析图33—3.6可以看出，随着参数°增大，函数值很快减小，接近于0。正是由于函数值的急剧减小才是个Runge现象在°=15时基本消失，而在°=1()()时可以认为没有Runge现象。3、从以上分析可知，对于函数/(兀)二=4,当函数幅值cr+xmaxf(x)=21时，Runge现象将消失；当max/(x)=-^->l时，采用等a"距节点在阶数较高时会

8、有明显的Runge现象产生。