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《数学：集合语言与集合思想的运用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、集合语言和集合思想的运用刘忠(江西省永丰中学特级教师)集合是高屮数学屮最基础、最重要的概念之一，集合思想无不渗透到数学的每一个“角落”•在高考中，有关集合的题每年必考，有关集合思想运用的题常考常新。因此，我们要从掌握集合语言入手，从本质上掌握集合思想在解题屮的应用，以提高解题能力，从而达到以不变应万变的目的.一、集合语言1、数学概念的集合语言中学数学中许多概念和知识川集合的语言来叙述就显得简单明了，如实数与正方形就分别是用集合的并、交运算來定义的.即，实数集R=｛有理数｝U｛无理数｝；｛正方形｝=｛菱形｝A｛矩形｝等.再如，几何图形就
2、有以下两种集合语言形式•一是把几何图形看作是空间具有某种性质的点的集合(如平面上线段AB的垂直平分线就是点集｛P
3、
4、AP
5、=
6、BP
7、｝).二是在平而上建立了直角坐标系以后，用图形上点的坐标所满足的方程(方程组)或不等式(不等式组)等特征构成的点集来表示•如双曲线为点集gy)I计*小等•但有一点要注意，在立体儿何中，虽然空间图形可以看成是点的集合，但有的地方的表示却另有规定•如点A亦平面a内，记为AGa；直线a在平面a内，记为acza.但宜线a与b相交于点A,却记为aClb=A(本应记为aClb=(A｝).2、集合语言的运用用集合语言來
8、解释或描述许很多数学内容，可以简洁明快地揭示数学本质.例1集合A=｛y
9、y=x2/xeR｝与集合b二｛(x,y)
10、y=x2?xeR｝是否相同?分析用描述法表示的集合｛pIf(p)｝屮，p为元素的一般形式(代表元素)，f(p)为元素所满足的条件•在解题时要特别注意对元素的一般形式f(p)的理解.解集合A中的元素为函数y二X?的函数值，故A为函数的值域；而B中的元素为满足y二X?的有序实数対(x,y),从“形”的角度讲B是抛物线.所以A、B是不同的.变式集合A=｛y
11、y=x2,xeR｝与集合b=｛x
12、y=x2,xeR｝是否相同?例2已知集
13、合人=｛(x,y)
14、x2+y2=4｝/B=｛(x/y)
15、x2+y2=l｝,则A、B的关系为().A.BAB.AAB=BC.AQB二①D.AUB二A解如图1,集合八、B分别是以原点为圆心，以2、1为半径的圆，所以AQB=e,故选C.评注木题容易错选A.关键是要排除集合的韦恩图的干扰.例3某次数学竞赛只出了A、B、C三道题，有25个学生参加,每人至少能解出一道题•在没有解出A题的学生屮，解出B题的学生人数是解出C题的人数的两倍；只能解出A题的人数比其余解出A题的人数多1;在只能解出一题的学生中，有一半不能解出A题.试求只能解出B题的学生数
16、.解如图2所示.设X、Y、Z分别为只解出A、B、C题的人数;V、U、W分别为只解出A、B,B、C,A、C两题的人数，T为同时解出三题的人数.由条件知,Y+U=2(ZWnY二Z+UX=W+V+T+1,所以，25二X+Y+Z+W+V+U+T=X+X+(X-V-T-1)+U+TX+Y+Z2-二Y+ZnX=Y+Z.=X+X+X-1+U,即3X+U=26.因为X=Y+Z,Y=2Z+U,所以9Z+4U=26,9Z<26,ZW2・当Z“时,4U=17不可能.当Z=2时，U=2,Y=6,X=8,代入原题合乎题意，所以,只解出B题的学生有6人.集合思想
17、1、集合思想所谓集合思想，就是将川文字、图形等语言表述的数学命题用集合语言农述后，用集合的知识来求解（或者是用集合语言表述的命题用文字、图形等语言表述后來求解）的思想.它与函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想等思想一样都是解数学题的基本思想•显然，集合思想实质上是转化与化归思想的具体体现.2、集合思想的运用x—I例4□，知p:1--—<2;3q:x2-2兀+1-加‘S0（加>0）,若一是一的充分而不必耍条件，求实数m的取值范围.分析集合思想下的充耍条件：若A表示满足条件p的集合，B表示满足条件q的集合,则P是q的充分条件O
18、AB；p是q的必要条件OAnB；p是q的充要条件U>A=B.解山1一—'J得_2WxW10；由x2-2x+l-m2^0(m>0),得l・mWxWl+m.丁「P是「q的充分而不必要条件，「.q是P的充分而不必要条件，.••集合｛x
19、l-m^xWl+m｝是集合｛x
20、—2WxW10｝的真子集，・・.l——2,1+mWlO,且等号不同时成立,・：mW3.例5写出命题p:-―i>0的否定.?-7x+10解先将不等式一1>0转化为集合x——!>ol,则由于x2-7x+10Ix2-7x+10J卅帀>0卜沖-"。有意义,且/_7兀+lO>o}={
21、x
22、x<2或x>5},ACR{x
23、x<2或x>5}={x
24、2
