元素与集合、集合与集合的关系

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1、淘出优秀的你第一周　元素与集合、集合与集合的关系重点知识梳理1．集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性．①确定性：集合中的元素必须是明确的，不能含糊不清；②互异性：一个集合中的元素是唯一的，不能有相同元素，相同元素只能出现一次；③无序性：即一个集合中的元素出现没有顺序，只要两个集合的元素完全相同，这两个集合就是相同的．2．元素与集合的关系：集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，元素与集合是从属关系，如a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，a不属于集合A，记作a∉A.3．集合间的基本关系(1)子

2、集：如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B.(2)真子集：如果A⊆B且A≠B，那就说集合A是集合B的真子集，记作AB.(3)相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即A＝B.(4)常用结论①任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；②空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集；③如果A⊆B，B⊆C，那么A⊆C；④如果A⊆B，同时B⊆A，那么A＝B.典型例题剖析例1　已知集合A＝{x

3、ax2－2x－1＝0

4、，x∈R}，若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．【方法指导】集合A中至多有一元素，即为对应方程至多只有一根，这样通过讨论方程根的情况来求a的取值范围即可．【解析】(1)当a＝0时，方程只有一个根－，则a＝0符合题意；(2)当a≠0时，关于x的方程ax2－2x－1＝0是一元二次方程，则该方程有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1，所以实数a的取值范围是{a

5、a≤－1}．综上所述，实数a的取值范围是{a

6、a＝0或a≤－1}．【提示】以下解法是错误的：由于集合A中至多有一个

7、元素，则一元二次方程ax2－2x－1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1，所以实数a的取值范围是{a

8、a≤－1}．错误原因　方程ax2－2x－1＝0不一定是一元二次方程，若方程不是一元二次方程，则不能7淘出优秀的你利用判别式Δ判断其实根的个数．【小结】本题体现了转会与化归的思想，解答时将问题转化为关于x的方程ax2－2x－1＝0的实数根的个数问题，这样就容易解决了．同时，要注意若方程的二次项系数含有字母，则需对其是否为零进行讨论．变式训练　已知集合A＝{x∈R

9、ax2－3

10、x＋2＝0}．(1)若A是单元素集(只含有一个元素的集合)，求a的值及集合A；(2)求集合P＝{a∈R

11、a使得A至少含有一个元素}．【解析】(1)当a＝0时，A＝{}，符合题意；当a≠0时，要使方程有两个相等的实根，则Δ＝9－8a＝0，即a＝，此时A＝{}．综上所述，当a＝0时，A＝{}；当a＝时，A＝{}．(2)由(1)知，当a＝0时，A＝{}含有一个元素，符合题意．由a≠0时，要使方程有实根，则Δ＝9－8a≥0，即a≤.综上所述，P＝{a∈R

12、a使得A至少含有一个元素}＝{a

13、a≤}．例2　已知－3∈

14、A，A中含有的元素有a－3,2a－1，a2＋1，求a的值．【解析】由－3∈A且a2＋1≥1，可知a－3＝－3或2a－1＝－3，当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.经检验，0与－1都符合要求．∴a＝0或a＝－1.变式训练　已知互异的两数a，b满足ab≠0，集合{a，b}＝{a2，b2}，则a＋b等于(　　)A．2B．1C．0D．－1【答案】D【解析】由{a，b}＝{a2，b2}，则①或，②由①得，∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a＝1，b＝1，此时集合{1,1}不满足条件．由②两式相减得

15、a2－b2＝b－a，∵两数a，b互异，∴b－a≠0，即a＋b＝－1，故选D.7淘出优秀的你例3　已知集合A＝{x

16、－2≤x≤5}，B＝{x

17、m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．【解析】A＝{x

18、－2≤x≤5}，B＝{x

19、m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.①若B＝∅，则m＋1>2m－1，解得m<2，此时有B⊆A；②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，由B⊆A，得，解得2≤m≤3.由①②得m≤3.∴实数m的取值范围是{m

20、m≤3}．【小结】对于这类含有字母参数的集合的包含关系，应注意空集

21、是任何集合的子集，如本题中，应讨论集合B为空集的情形．变式训练　已知集合P＝{x

22、x2＋x－6＝0}，集合Q＝{x

23、ax＋1＝0}，且Q⊆P，求实数a的取值构成的集合A.【解析】∵x2＋x－6＝0，∴(x＋3)(x－2)＝0，即x＝－3或x＝2.∴P＝{－3,2}．又∵Q＝{x

24、ax＋1＝0}，当a＝0时，Q＝∅，满足Q⊆P；当a≠0时，有－＝－3或－＝2，∴a＝或a＝－，故a＝0或a＝或a＝－.∴A＝{－，0，}．跟踪训练1