资源描述：
《高中数学破题致胜微方法（函数的周期性）抽象函数周期的求法函数模型法含答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、抽象函数周期的求;一函数模型法数学模型，在数学学习中有很大的作用，它可以帮助我们解决很多未知的问题。如何有效利用数学模型呢？首先要对基础知识掌握的扎实，其次要在遇到问题时“大胆想象，大胆类比，用已知知识作为铺垫，找到问题的突破口。我们知道，基本初等函数分为，幕函数、指数函数、对数函数、三角函数等，而三角函数屮人多数都具有周期性，今天我们就利用三角函数作为模型，求抽彖函数的周期。先看例题例：设函数沧)的定义域为R,且对任意的实数满足/(%+y)+/(%-y)=2/(x)/(y),并存在非零实数c,使/(-)=0,证明函数f(x)是周期函数2类比f(x)=cosX因为，通过两角和差的余弦公式
2、展开，有：cos(x+y)+cos(x一y)=(cos兀cosy-sinxsiny)+(cosxcosy+sin兀siny)即cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy而对于余弦函数/(—)=0,而T=2兀,类比原函数/(-)=0,我们可以猜测，T=2c所以，可令y=
3、,/(X+1)+/(X-1)=2/(x)/(
4、)=0整理得：+所以有/(X+
5、研究的函数并不一定是/(x)=cosx，但是可以根据这个模型，给我们的证明提供帮助。接下来我们再看一个例子，加深印象练：函数心)是定义在R上的奇函数，且/(—X)=f(—X),则/(I)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)=()根据已知条件，我们知道函数首先是奇函数其次，函数关于直线兀=丄对称2所以我们类比/(x)=sin7TX,它既是奇函数，又满足函数关于x=
6、对称由奇函数的性质：/(-x)=-fx)令x=x+*:/(-%)=/(!+%)两式联立：所以/(x+1)=-/(%),同理f(x+2)=-f(x+V)=f(x)所以函数是周期函数，且卩2进而对以求值因为人0)=0,所以人2
7、)祕0)二0,同理fi4)=fi2)=fiQ)=0再根据/(x+1)=-/(%),所以夬2)=呎1)=0所以人1)=0所以/(3)=/(1)=0,同理/(5)=/(3)=0所以/⑴+/(2)+/⑶+/(4)+/(5)=0总结：1•根据题目本身的特征，找到对应的函数模型，对未知函数进行类比分析2.所选取的模型函数要满足题目所有条件，要注意定义域，值域等隐含条件3.模型函数具备参考价值，但并不能说所求的抽象函数一定是模型函数练习：1.已知函数满足/(兀+1)=Mx覃羽,若‘(0)=2016,则7(2016)=l->/3/(x)2.已知尸心)对于任何正实数x、y都有f(xy)=/(x)-/(y
8、),且当无>1时，/(%)<1,/(2)=^.⑴求证f(x)>0；⑵求证/(%-,)=[/(x)r1⑶求证尸心)在[0,400)上为单调减函数；⑷若70)=9,试求加的值答案：zc、tana+tan01.tan(<7+/?)=—1一tanatan0/(x)=tan^ze71/(x+1)=tan(a+—)=tancr+a/31-a/3tan/(x+3)=/(x)2.分析：由条件/(A>9=/(x)-/(y)可联想到模型函数)=7兀证明：(1)对于任意x>0,由已知有/u)=/(V^-V^)=[/(x)]2>o用反证法证明/(X)0假设存在y>0,使夬)，)=0,则对任意x>0,YY有/W=
9、/(-^)=/(-)*/(y)=Oyy与题设矛盾，所以对任意兀>o,均有/⑴>0(2)因为/(%)=/(兀•1)=/(%)•/(l),/(x)>0所以AD=1/(x)-/(-)=/(^•-)=/(!)=!XX所以/(x-,)=[/(x)r,(3)任设0vjqv兀2,则理>1，由条件知/*◎)v1所以/(X.)=/(玉•兀I)二/(理)•)V/(X])所以几丫)在[0,F)上是单调减函数(4)因为/(2)=
10、,f(m)=9所以/(2)•/(m)=1所以/(2加)=1=/(I)•/(%)在r0,4-o)上是单调减函数所以2m=1,m
