高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算312空间向量的基本定理课堂探

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1、3.1.2空间向量的基本定理课堂探究探究一共线向暈定理的应用判定向量共线就是利用己知条件找到实数昭使a=xb成立.同时要充分利用空间向量的运算法则，结合图形，化简得出a=xb,从而得出a//b.即向量日与”共线，共线向量定理还可用于证明两直线平行或证明三点共线.【典型例题1】如图所示，四边形加乞9和/駁尸都是平行四边形，且不共面，•仏•"分别是/I,"的中点.判断笏与是否共线?思路分析：由共线向量定理，要判断预与赢是否共线，即看能否找到x,使压-x赢成立.解：I,N分别是化，胪的中点，而四边形ABCD,初防都是平行四边形,・・・祇=MA+~AF+FN=^CA+彷+*丽又J^=MC+

2、CE+EB+兪=菇+CE-亦-*莎,1―A.~►1—>1—A.—A—*1—>:.-CA+AF+~FB=~^CA+CE-AF--FB,・・・CE=鬲+2乔+FB=2（菇+AF+両=2M:.CE//MN,即彥与诵共线.探究二共血向量定理的应用判断三个（或三个以上）向量共面，主要使用空间向量共而定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示即可.通常应结合图形，选择其屮某两个向暈作为基向暈，其他向量都用这两个基向量线性表示.当然，必要时也可选择冃标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式.【典型例题2】已知儿B,C三点不共线，平面外力外的一点财满足0C.⑴判断菇，庞

3、旋三个向量是否共面；(2)判断点〃是否在平面ABC

4、AJ.思路分析：要证明三个向量共面，只需证明存在两个实数从y,使亦5=无庞+加玄，证明了三个向量共面，点於就在平面内.解：⑴•・•厉+鬲+庞=3筋，・・・鬲—丽(荷-翩+(荷-花)，・•・MA=丽+a=-MB-MC,・・・向量茄，•诙，•‘庞共面.(2)由⑴知向量菇，诟，，疋共面，三个向量的基线又有公共点必:・M,A,B,C共面，即点〃在平面MC内.探究三空间向暈分解定理的应用选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功.要结合己知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就

5、近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去,直到所有向量都符合目标要求为止.这就是向量的分解，空间向量分解定理表明，用空间三个不共而的向量组仏，b,c｝可以表示出任意一个向量，而且曰，b,c的系数是唯一的.【典型例题3】如图所示，已知矩形加血7,戶为平面力救外一点，且丹丄平面4/竝9,必川分别为私加上的点，且PM：MC=2:1,艸为刃中点，求满足诉=久励+y乔+zW啲实数”y,z的值.思路分析：结合图形，从向量•硕出发利用向量运算法则不断进行分解，直到全部用乔,AD,〃啟示出來，即可求出x,y,z的值.解：在P〃上取一点F,使胪：FD=2:1,

6、连接MF,则亦=莎+顽;