中考数学复习指导：《二次根式》创新题赏析

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1、《二次根式》创新题赏析近年出现二次根式问题，不拘泥常规的形式，而表现为内容丰富、立意新颖、背景鲜活，让人赏心悦目的创新题。下面介绍一些新背景下二次根式的新题型，并分类解析.一、新定义运算问题就是给出一个“规则”，然后根据所给的新规则进行判定、运算，从而达到解决问题的目的.例1给出一种运算：=+则2018*2=°分析根据的意义，将2018*2转化为二次根式｛2018x2+^1^，化简即得。答案：371009(求解过程略).说明对于这类新问题，解题时要仔细阅读所给运算法则，再按照对应元素的位置关系将字母换成数，代入计算即可.二、开放探

2、究性问题是指命题中缺少一定的条件或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的问题.例2同学们玩过“24点”游戏吗？现给你一个无理数迈，你再找3个有理数，使它们经过3次运算后得到的结果为24。请你写出一个符合要求的等式•分析因为无理数血参与运算，而计算结果是有理数，因此要将血乘以0,或者(a/2)z,的指数斤是偶数.解答案不唯一女口，72x0+12x2=24或(血『+4x5=24说明此题的条件和运算是开放的，它是条件开放题。另外，还有结论开放题、存在开放题、方法开放题等.三、二次根式意义的应用根据二次根式的意义可知，二次根式的

3、被开方数是非负数，同时二次根式也是非负数;还要掌握二次根式表示无理数，以及表示有理数的条件.例3⑴如果(2+V2)2=a+bV2(a,b为有理数)那么a+b等于()(A)2(B)3(C)8(D)10⑵自然数农使得屈二为整数，m是使V20m为整数的最小正整数•求J(一町2+(何万)2的值.分析⑴将(2+V2)2展开，与a十b迈比较系数即可得到a,b的值.选D.(2)根据二次根式的意义，被开方数是非负数，由此可确定的范围，即«<8,故自然数n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,只有n=4,7,8时，屈二为整数.由J而为整数，又•/V

4、20m=V22x5,・•・加最小值为5./.J(-)2=71+20mC104(応4)107(/2=7)I108(/?=8)说明(2)解题时要掌握问题中的隐含条件：被开方数是非负数，以及b逐(b,c为有理数)为有理数的条件.四、阅谈理解问题解决这类问题的策略是要善于挖掘新知识的内涵和木质，并能够用旧知识合理解释新知识，然后将“陌生”的知识转化为熟悉的知识.例4阅读下列材料：验证:

5、(23-2)+2V22-1(2(22-1)+2422-1

6、(33-3)+3_(3(32-1)+3_=V32-i=V32-i=V3+i(1)按照上述两个等

7、式及其过程的基本思路，猜想4｛善的变形结果并进行验证;(2)针对上述各式反映的规律，写出用〃⑺为任意正整数，且/?>2)表示的等式并给出证明.分析观察数与根号的关系及数的变化特征，猜想出结论，再利用阅读材料提供的验证方法证明.(1)猜想:证明：4£_15(43-4)+4_4(42-1)+44^-1=42-1(2)针对上述各式反应的规律，可得证明：n说明阅读题取材新颖，立意巧妙，解题时没有现成的模式可以套用，因此，只有在平时加强这方面的练习，通过阅读给定的材料，弄清所给材料与要解决向题的联系，然后解决相关问题.五、估值问题估算法，

8、就是一种粗略的计算方法，即对有关数值进行扩人或缩小，从而对运算结杲确定出一个范围，或作出一个估计，例5设3+>/7的整数部分是a,小数部分是b,求⑴a,by(2)a(b-y/l)o分析先判定"的整数部分和小数部分，再确定3+V7的整数部分和小数部分.解(l)v4<7<9/.V4

9、一定是无理数.⑵要确定乔的整数部分和小数部分，就要先分析并判断该二次根式的被开方数是介于哪两个相邻的完全平方数之I'可，则该二次根式就介于这两个相邻的完全平方数的算术平方根之间•在取其整数部分时，应取两相邻整数中较小的整数值，然后用这个二次根式减去它的整数部分，就得到其小数部分.六、判定正误问题例6甲、乙两同学在化简J药xj亍一兀历时，采用了不同的方法：甲:因为九y是二次根式的被开方数，且在分母上，所以兀>0,y>0,于是令x=l,y=l,故原式=a/25xV1^V5=V5乙:原式=丁厶？-%2-xxy[y4-x-（^5-y[x-

10、y[y）=5^/5xy.从而得出不同的结果•请你指出甲、乙同学的作法是否正确?说明理由.解甲、乙两同学的作法都不准确.甲同学犯了特殊代替一般的错误.乙同学将代数式在运算中的意义理解错了，它是一个整体，是除式.正确的解法是:原式二际分•XX五十述•天