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1、数轴在初中数学中的作用数轴是理解有理数概念与运算的重要工具，是数与形结合的基础，在数学中占有重要的地位，它是学习有理数的一条主线，它与相反数、绝对值等有密切的联系，下面仅结合有理数的有关概念,谈谈它的“主线”作用。一、从数轴上看正负数例1.如图1所示，在数轴上有三个点A、B、C,请回答：ABC111111111〉-4-3-2-101234图1（1）将B点向左移动3个单位后，三个点所表示的数谁最小？是多少？（2）将A点向右移动4个单位后，三个点所表示的数谁最小？是多少？（3）将C点向左移动6个单位后，这吋B点表示的数比C点表示的数大多少？（4）怎样移动A、
2、B、C中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动的方法？解：（1）因为将B点向左移动3个单位后，点B表示一5,而点A表示一4,点C表示3,因此点B表示的数最小，是一5；（2）将A点向右移动4个单位后，点A表示0,点B表示一2,点C表示3,因此点B表示的数最小，是一2；（3）将C点向左移动6个单位后，C点表示数一3,A点表示数一4,B点表示数一2,所以B点表示的数比C点表示的数大lo（4）使三个点表示的数相同共有三种移动的方法。第一种：把点A向右移动2个单位，点C向左移动5个单位；第二种：把B点向左移动2个单位，C点向左移动7个单位；第三种：把A点向
3、右移动7个单位，B点向右移动5个单位。二、从数轴上看相反数数a的相反数表示为-a。在数轴上表示互为相反数（除0外）的两个点，分别在原点的两旁，且离开原点的距离相等，女H+2.5和-2.5所对应的点分别在原点的右边和左边，且离开原点的距离都为2.5。依据相反数的这一几何特征，更能识别和掌握相反数。三、从数轴上看绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值.一个数a的绝对值记作aI”，Ia
4、就是数轴上表示数a的点到原点的距离。女口-3的绝对值记作T-3
5、”(如图2所示)，11111I-3-2-101图2即数轴上，表示-3的点与原点的距离是3,
6、所以丨-3
7、二3.表示0的点与原点的距离是0,所以丨0
8、=0,
9、a-b
10、就是数轴上表示数a和b的两点间的距离，如丨6-2
11、就是数轴上表示数6和2的两点间的距离，即
12、6-2
13、=4o依据这样的绝对值的几何意义，更易理解和解决与绝对值有关的问题.例2.求绝对值小于5的非负整数？分析：从数轴上看，绝对值等于5的数有±5,绝对值小于5就是到原点的距离小于5,这样的整数有一4'一3,-2,-1,0,1,2,3,4,而非负整数有°,1,2,3,4。解：绝对值小于5的非负整数是0,1,2,3,4。说明：理解绝对值的儿何意义要注意，求绝对值符合某些条件的数时，不要漏掉0或
14、负数。四、从数轴上看有理数的大小比较数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大.例3.有理数a、b、c的位置如图3所示，试确定下列各组数之间的大小关系。I
15、
16、
17、ab0c图3(1)a与b；(2)—Q与一b；(3)-b与c；(4)一。与c；(5)a与一c；(6)b与_c分析：把a、b、c的相反数在数轴上表示出来。因为在数轴上表示的两个数，右边的数总是比左边的大，我们就可以比较出以上各组数的大小。解：把一°、一“、一°表示在数轴上，如图4所示，由图可知：(1)a-b—a-c'bi-bc-a>图4(3)-bc-(5)a<-c.(6)b
18、>-c五、从数轴上看有理数的化简求值数轴用处很大，以后要经常用到。例如，用于有理数大小比较和化简计算。例4.a,b在数轴上对应如图5所示，化简丨a-b
19、-
20、a
21、+
22、b
23、+
24、a+bI解：观察数轴可知：a<0,b>0,
25、a
26、>
27、b
28、,•I
29、a-bj=b-a,
30、a+b
31、二-(a+b)—I11►图5°0b•I原式二b-a+a+b-a-b二b-a.例5.(1)求丨x+2
32、+Ix-4
33、的最小值。(2)已知0WeW4,求Ia~2
34、+
35、3-a
36、的最大值分析：可以分类讨论将绝对值化去，继而求得最小值，但计算比较繁琐。若运用数轴知识则简捷明快。解：(1)Ix+2
37、+
38、x-4
39、
40、表示数轴上x与-2、4的距离之和，显然当x在-2与4之间时原式有最小值，且最小值为6。(2)Ia-2
41、+
42、3-a
43、表示数轴上a与-2、3两点的距离之和，当O0W3时，其和有最小值为1；当沪0时，丨0-2
44、+丨3-0
45、=5,a二4时，I4-2丨+
46、3-4
47、=3,a=0时，I旷2丨+
48、3-a
49、有最大值5。六、从数轴上看实际问题例6.某人问老师与他的学生小明的年龄，老师笑着所说：“我像小明那么大时，小明才2岁；当小明像我这般年龄时，我将44岁。”请聪明的小读者回答：老师现年—另,小明现年XXX-JIII>夕2AB44解：由数轴表示如图6,设A、B两点分别表示
50、小明和老师现在年龄并小明和老师的年龄差为x,由于师生图§两人的年龄差不变，所以可
