中考数学复习指导：例说换元法在初中数学中的应用

《中考数学复习指导：例说换元法在初中数学中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、例说换元法在初中数学中的应用利用换元法解题，具有极大的灵活性。关键在于根据问题的结构特征，恰当地引入辅助未知数，达到以简驭繁，化难为易的目的。在具体应用时，换元的具体形式也是多种多样的。要在解题的实践中，不断摸索规律，积累经验，掌握有关的变换技巧，提高运用换元法解题的能力。下而举例说明换元法在初中数学中应用。一、用换元法分解因式彳列1扌巴(兀一4)(兀一2)(兀一1)(兀+1)—72分解因式。本题如果把括号、合并同类项以后，会得到关于无的四次式，分解起来比较困难。认真观察题目的结构，可以发现(x—4)(

2、兀+1)二才_3兀_4,(%_4)(%一2)(%一1)=F一3兀+2,它们的二次项、一次项完全相同，这就具备了换元的条件，选用换元法进行降次处理，就使得分解变得简单易行。在设辅助未知数时，方法比较灵活，如可设y=x2-3x,或设y=F—3x—4等，一般地，设y等于F-3兀—4和x2—3兀+2的算术平均式比较简捷。解(x—4)(x—2)(兀一l)(x+1)—72—(x~—3x—4)(兀~—3x+2)—72设y=F—3兀一1,则x2-3x-4=y-3,x2-3x+2=y+3原式=(〉，_3)(y+3)_72

3、=y2_9_72=(y+9)(y_9)=(%2-3x+8)(%2—3x—10)=（x2-3x4-8）（兀一5）（兀+2）总结提示当在一个多项式中出现相同的部分时，一般可采用换元法来解决问题。二、换元法在解方程屮作用学握运用换元法解方程和方程组是初中数学的一个重点要求而在解高次方程、分式方程、无理方程吋，要注意方程的特点创造运用换元法的条件往往会简化求解过程。高次方程彎汁氐次方程分式方程主嚏迟整式方程转化无理方程型笔晋匕有理方程例2解下列方程:①(2〒一3)2+6=4/解原方程变形为(2〒一3尸-2(2/

4、—3)=0。设y=2x2-3,原方程形变为y2-2y=0.解这个方程,得必=0,儿=2。当y=0时，2兀2—3=0,X]=,x7=--；2-2当y=2时,2x2-3=2,VioVio所以原方程有四个根:V

5、2②2x~-6x—5』兀？一3兀一1=5解析整理原方程得:2(兀2—3兀一1)—5丁兀2—3兀一1—3=0。设厶2_3—i=y,那么兀2一3兀_l=y2,原方程变为2/-5y-3=0o解这个方程，得―孰"当汗一長7^右=冷，根据算术根的定义，yjx2-3x-l=--无解。当y=3时，厶2一3兀一1=3

6、,两边平方，整理得2^2-3x-10=0o解这个方程，得召=5,冯=一2。检验，把x=5,x=-2分别代入原方程都适合，因此，它们都是原方程的根…••原方程的根是壬=5,兀2=-2。三、证明题利用换元法十分简捷例3试证明关于x的方程(x-a)(x-a-b)=1的根一个比。大，一个比d小。分析本题的一般证明方法是求岀两个实数根，再证明有一根大于Q,另一根小于Q。认真观察题目的结构，可以变形为(x-a)2-b(x-a)-l=0,可以实施换元。即要证一根比Q大，一根比。小，可以转化为证明(x-a)(x2-a)

7、<0o本题还可以借助于函数思想，利用换元法得到十分简捷的证明。证法一设兀—d=原方程变形为y2-by-l=0①□=(-/?)2-4(-1)=/?2+4>0,・・・方程①有两个不相等的实数根廿，力O由根与系数的关系,得心2=_1<0,即(x}-a)(x2-a)<0.••・原方程屮一个根大于a,—个小于a。证法二^&y=(x-a)(x-a-b)-l,即y二(兀_^尸_b(x_a)_],把y看作是关于兀的二次函数。当x—a时，）'=—1<0o•・•j=(x-6z)2-b(x-a)-1的图象开口向，.••图象与

8、尤轴的交点一个在x=a的左边,一个在x=a的右边，・•・(x-a)(x-a-b)=1的根一个大于a,—个小于a。