中考数学复习指导：中考数学中的“新概念数学”

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1、中考数学中的“新概念数学”近年来，各地中考出现了一类在新定义下求解的试题，即所谓“新概念数学题”，本文列举如下，供读者练习参考.一、以平行四边形、菱形为载体的“n阶准菱形”例1)邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依次类推，若笫n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形.如图1(1),口ABCD中，若AB=1,BC=2,则DABCD为1阶准菱形.⑴(2)图］(1)判断与推理：①邻边长分别是2和3的

2、平行四边形是阶准菱形；②小明为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图1(2),把£7ABCD沿BE折壳(点E在AD上)，使点A落在BC边上的点F,得到四边形ABFE.请证明四边形ABFE是菱形.(2)操作、探究与计算：①已知OABCD的邻边长分别为1,a(a>l),且是3阶准菱形，请画出口ABCD及裁减线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知口ABCD的邻边长分别是a,b(a>6),满足a=6b+r,b=5r,请写出£7ABCD是几阶准菱形.解(1)©2阶；②由折叠知ZABE=ZEBF,AB=BF,・・・四边形ABCD是

3、平行四边形，・・・AE〃BF,ZAEB=ZEBF,AZABE=ZAEB,・・・AB=AE,AE=BF.・・・四边形ABFE是平行四边形,・・・四边形ABFE是菱形.⑵AD__,?letihrmBCBCa=4a=2.5②10阶准菱形①图2评析此试题以平行四边形、菱形、一元一次方程等核心知识为载体，要求学生通过阅读理解、判断推理、操作计算、抽象概括等方式进行即时的学习和研究，倡导了以学牛自主学习为主体的新课程理念，很好地引导师牛转变教与学的方式，问题的设置简洁而内涵丰实，试题呈现方式新颖独特，很清晰地展示了开展一类课题学

4、习的研究模式：定义一—问题一一推理判断一一操作探究一一抽象概括•试题以能力立意，要求学生灵活运用分类讨论等数学思想，以及从具体到抽象、从特殊到一般、正逆向并存的思维方式.二、以函数、正方形为载体的“伴侣正方形”例2已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形ABCD(A、B、C、D各点依次排列)为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形.例如：如图3,正方形ABCD是一次函数y=x+l图象的其屮一个伴侣正方形.(1)若某函数是一次函数y=x+l,求它的图象的所有伴侣正方形的边长;(

5、2)若某函数是反比例函数y=±(k>0),它的图彖的伴侣正方形为ABCD,点D(2,Xm)(m<2)在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式;(3)若某函数是二次函数y=ax2+c(aH0),它的图像的伴侣正方形为ABCD,C、D中的一个点坐标为(3,4).写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标,写出符合题意的其中一条抛物线解析式，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？.解⑴当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，正方形ABCD的边长为血；当点A在x轴负半轴、点B在y在半轴上时，设正方形的边长

6、为a,易得3a=近,解得丘a=,所以正方形边长为-；33(2)如图3,作DE,CF分别垂直于x、y轴，易矢DAADFABAOACBF.此时，m<2,DE=OA=BF=m,0B=CF=AE=2-m.・・・0F=BF+0B=2.・・・C点坐标为(2-m,2),・・・2m=2(2—m,),解得m=l.2反比例函数的解析式为x(3)(-1,3)；(7,-3)；(-4,7)；(4,1).对应的抛物线分别为：122372223"盲+=_40x+石；3，13255y-+〒疗=一+〒所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数.评析此试

7、题以一次函数、反比例函数、二次函数和正方形等核心知识为载体，以能力立意，要求学生灵活运用分类讨论、数形结合等数学思想，以及从易到难、正逆向并用的思维方式进行推理.学生对函数概念的理解有一个逐步发展的过程，此题对函数内容的编排体现了螺旋上升的、不断深化的过程，三、以抛物线、等腰三角形、中心对称为载体的“抛物线三角形”例3如果一条抛物线y=ax?+bx+c(aHO)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.(1)“抛物线三角形”一定是三角形；(2)若抛物线yi=-x2

8、+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；(3)如图4,AOAB是抛物线y2=-x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD?若存在，求出过D、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在,说明理由.解⑴等腰；(2)・・•“抛物线三角形”是等腰直角三角形，・・・该抛物线的顶点坐标(彳