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1、例谈中考数学中的分类讨论近年來，在各地中考试卷中涉及“分类讨论”的问题非常普遍.利用分类讨论思想解决问题时，必须保证分类科学，标准统一，做到不重复，不遗漏,并力求最简.下面就中考题精选几例供大家参考.一、由图形位置的不确定性引起的分类讨论例1如图1,射线QN与等边AABC的两边AB,BC分别交于点M,N,且AC〃QN,AM=MB=2cm,QM=4cm.动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒lcm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，V3cm为半径的圆与AABC的边相切（切点在边上）,请写出t可収的一切值.4CB图1分析此类题
2、目是由于图形位置的不断变化而引起的分类讨论.本题屮，rh于点的运动引起OP与AABC的边相切的位置也在不断变化，从而需要分类讨论.解VAABC是等边三角形，・・・AB=AC=BC=AM+MB=4.ZA=ZC=ZB=60°.•・・QN〃AC,AM=BM,・・.N为BC中点，/.MN=—AC=2,2ZBMN=ZBNM=ZC=ZA=60°.分为三种情况：①如图2,当OP切AB于点M*时，连结PM',则PM，=J5,ZPMM=90°.VZPMM,=ZBMN=60°,・・・M'M=1,PM=2MM'=2,・・・QP=4-2=2,即t
3、=2.图2①如图3,当OP与AC切于A点吋，连结PA,则ZCAP=ZAPM=90°,图3ZPMA=ZBMN=60°,AP=能，・・・PM=1,・・・QP=4—1=3,即t=3・当OP与AC切于C点时，连结PC,则ZCPfN=ZACP=90°,ZPNC=ZBNM=60°,CP=V^,・・・PN=1,・・・QP=4+2+l=7,即当3WtW7时，OP和AC边相切.②如图4,当OP切BC于点N时,连结PN',则PN*=y/3,ZPNN=90°.VZPNN,=ZBNM=60°,・・・NN=1.PN=2NN'=2・・・・QP=4+2
4、+2=8,即t=8.故答案为：t=2,或3WtW7,或t=8.点评本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论.难度不大.二、由于求解过程不便统一表述，故需进行分类讨论例2在厶ABC中，AB=2V2,BC=1,ZABC=45°,以AB为一边作等腰直角三角形ABD,使ZABD=90°,连结CD,则线段CD的长为.分析此类问题一般结果是两个以上，其题干表述就注定了它的多解特征，要结合题意画出图形逐个判断，做到不重不漏
5、.本题中分点A、D在BC的两侧或同侧，两种情形讨论.解①如图5,点A、D在BC的两侧.VAABD是等腰直角三角形，・・・AD=J2A.B二Qx2近=4・•・•厶ABC=45°,■BE=DE=~AD=亠x4=2,22'EBCBE丄AD.・・•BC=1,.•・CE=BE-BC=2-1在RtACDE中，CD=VCE2+DE2=/l2+22=75；②如图6,点A、D在BC的同侧，VAABD是等腰直角三角形，・・・BD=AB=2血・过点D作DE丄BC,交BC的反向延长线于点E,则ABDE是等腰直角三角形,・•・DE=BE二咚*2近=
6、2.又•・•BC二1,CE=BE+BC=2+1=3.在RtACDE中，CD=丿両+。衣=/32+2"二/B.综上所述，线段CD的长为或.点评本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观.三、由动点位置的不确定性引起的分类讨论例3如图7,直线y=—»x+4与坐标轴分别交于点A>B,与直线y=x交于点C.在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A作匀速运动，同时动点P从点A出发向点0作匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动,分别过点P、Q作x轴的垂线，交
7、直线AB、0C于点E、F,连结EF.若运动时间为t秒,在运动过程中四边形PEFQ总为矩形(点P、Q重合除外).(1)点P运动的速度是多少？(2)当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？(3)当t为多少秒吋，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值.图7分析此题中，点运动的不确定性需要分类讨论•此题的关键在于讨论当Q在P点的左边、右边时，矩形PEFQ成为正方形的条件，要谨防漏解.解(I)：•直线y=—丄x+4与坐标轴分别交于点A、B,.*.x=0时，y=4,y=0时，x=8,•30415H.1•40一82当/秒时,Q0=FQ=t
8、,则EP=t.•••EP//BO,:OBEPAOAP・・•动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A作匀速运动，速度是每秒2个单位长度.(2)如图8,当Q在P点的左边，且PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形.・••点p运动的图8•・・0Q=FQ=t,PA=2t,・・・QP=8_t_2t=8_3t,/.
