例谈分类讨论法在中考数学中的运用

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1、例谈分类讨论法在中考数学中的运用摘要：本文通过具体事例说明了分类讨论思想在近些年本省中考数学试题中的运用.关键词：分类讨论中考数学运用在数学中常常需要根据研究对象的性质，对各种不同的情况予以分析，这就是分类讨论•由于分类讨论题覆盖的知识点较多，考查方式多样，具有较高的逻辑性和综合性，因此在这几年的中考试题尤其是解答题中经常用到这种方法.可以说，只要是有一定难度的试题，一般就会用到分类讨论的思想•然而，一些学生在用分类思想解题时，却常常出现因考虑不周而失分的现象，因此在平时教与学的过程中，尤其在中考复习时，对

2、分类讨论思想要进行多方面的渗透，提高学生全面分析问题的能力，形成严谨的思维品质.任何分类讨论方法都可以分为四个步骤：（1）确定分类对象.（2）进行合理分类.（3）逐类讨论，分级进行.（4）归纳并作出结论•现从本省近几年的中考数学试题中举例说明分类讨论思想在解题时的具体应用.一、根据相关政策法律和方案进行分类例1：（2013•徐州）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如下表所示:(1)若甲用户3月份的用气量为60m■，则应

3、缴费？摇？摇■兀；(2)若调价后每月支出的燃气费为y(元)，每月的用气量为x(mH),y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，若乙用户2、3月份共用气175m«(3月份用气量低于2月份用气量)，共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？分析：(1)根据单价X数量二总价就可以求出3月份应该缴纳的费用；(2)结合统计表的数据根据单价X数量二总价的关系建立方程就可以求出a值，再从0WxW75,75125运用待定系数法分别表示出y与x的函数关系式即可；(3)设乙用

4、户2月份用气xmB,则3月份用气(175❷x)ml,分3种情况：x>125,175❷xW75时，750),正方形EFGH与AABC重叠部分面积为S.(1)当t=l时，正方形EFGH的边长是？摇？摇；当t=3时，正方形EFGH的边长是？摇？摇.(2)当0〈tW2时，求S与t的函数关系式；(3)直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？分析：(1)当时t=l时，可得EP=1,PF=1,EF=2即为正方形EFGH的边长;当t=3时,PE=1,PF=3,即EF=4；（2）正方形EFGH与AA

5、EC重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形，可分三段分别解答：①当O〈tW■时，②当■时，③当■〈tW2时；②依次求S与t的函数关系式.解决此类问题一般从运动的观点，根据平移、旋转、轴对称等相关知识，抓住运动图的一些基本特征，在不同位置构造出不同的几何图形进行分类讨论，然后利用相似、面积公式和三角函数等知识求出关于时间t对应函数关系式.由于运动形式和运动元素的多样性，近些年此类问题的试题呈现一些新的特点，如本例中和2013年连云港卷26题的两个动点问题，2012年淮安卷27题矩形旋转问题，2011年盐城

6、卷28题动直线与圆的位置关系问题，虽然题目形式变化多样，但应用上述方法一般都可解决此类问题.四、由参数的变化引起的分类讨论例4：（2011•南京）已知函数y=mx«-6x+l（m是常数）,⑴求证：不论m为何值，该函数的图像都经过y轴上的一个定点；⑵若该函数的图像与x轴只有一个交点，求m的值.分析：（1）由于二次函数的常数项为1,故x=0时，y=l得证.（2）考虑一次函数和二次函数两种情况，m=0函数为一次函数，与x轴有一个交点，mHO函数为二次函数，由函数y二f(x)与x轴有一个交点的要求，对应的一元二次方

7、程f(x)=0有两个相等的实数根，即根的判别式等于0.求解某些含参数的数学问题时，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，因此不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.如本文例4中的由于参数m的不确定性，需对函数类型进行分类讨论.根据数学中参数存在的形式不同，分类方法也不同•如2012年泰州卷28题，利用参数表示相关点的坐标，然后根据坐标满足条件进行分类；2012年镇江卷27题中先求出由t决定再生二次函数，然后根据再生二次函数经过的不同点进行分类，求出相应t的值.总之，当涉及的数学问题较复杂，难于按照统一的方式

8、方法加以解决时，需要把待解决问题划分为若干方面加以解决，最后得到问题的全部解决•分类讨论思想在中考试题中的应用很广泛，需要学生在平时解题时仔细体会.参考文献：[1]钮必伍.考试，2009(11).[2]张洪斌•科技信息(科学・教研),2009(8).[3]郑春安.中学数学杂志(初中版),2010(3).[4]薛清华.四川职业技术学院学报，2010(6).