中考数学复习指导：与旋转有关的猜想探究题

《中考数学复习指导：与旋转有关的猜想探究题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

与旋转有关的猜想探究题“旋转"是现实牛活和生产中广泛存在的现象，是现实世界运动变化的最简捷的形式之一，它不仅是探索图形i些性质的必要手段，而瓦也是解决现实世界中的具体问题以及进行数学交流的重要工具.在近儿年的屮考试题屮，以图形为载体、以旋转为手段考查同学们操作、想象、探究能力的屮考题层出不穷，今举数例，供参考.例1•如图1-1,-等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形4BCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点0（点0也是中点）按顺时针方向旋转.（1）如图1—2,当EF与相交于点M,GF与相交于点N吋，通过观察或测量BM,FN的长度，猜想BM,FN满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF旋转到如图1一3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点/V,此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.、N图1—1图1—2图1一3分析：本题主要考查旋转图形的性质，解答时应着眼于图形的旋转不变性来探索线段之间的变化规律.对于（1）问，经测量后可知二FM然后利用三角形全等证明即可；对于（2）问，要明确，在继续旋转的过程中，虽然和△OFN都发生了变化，但二者之间全等的关系没变.故结论成立.解：（1）BM=FN.证明：•••△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，・•・ZABD=ZF=45°fOB=OF.又•・•ZBOM=ZFON,・•・△OBM竺△OFN..•・BM=FN.（2）BM二FN仍然成立. 证明：•••△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形,:.ZDBA=ZGFE=45°fOB=OF.:.ZMBO=ZNFO=35。.又、：乙MOB二乙NOF,・・・△OBM竺△OFN.・•・BM=FN.评注：本题利用图形旋转的不变性，探索图形在旋转过程屮的有关规律，让同学们体验图形旋转变换的性质，同时也考查了同学们空间想象、规律探索、推理能力以及分析问题、解决问题的能力，是一道不可多得的优秀题目.例2.已知ZAOB二90°,在ZAOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合,它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E.当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1）,易证：OD+OE=V^OC.当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明.图2・1图2-2图2-3分析：由于在旋转的过程中，虽然点O的位置发生了变化，但ZAOC和ZCOE的大小不变，都是45°,因此可过C分别作OA、OB的垂线，从而转化为等腰直角三角形（图1）来处理.对于图3可仿图2处理.解：图2结论：OD+OEpOC.证明：过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别为P、Q.ACPD^ACQE,DP=EQ.OP二OD+DP,DQ=OE-EQ.又op+oqW°c，即od+dp+oe-eqWoc.・•・OD+OE=V20C・图3结论：OE-ODpOC. 评注：从以上两例可以看出，解决这类问题的关键是要把握以下两点: 1.在解题时，认真观察图形，不放过一个细节，看清旋转的角度和方向，找准旋转前后的相关的角与边，在旋转的过程中，弄清变与不变的量；2.再解决这类问题时，我们通常将其转换成全等形求解，根据旋转变换的特征，找到对应的全等形,通过线段、角的转换达到求解的目的.