资源描述：
《中考数学复习指导：构造轴对称图形解题方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、构造轴对称图形解题我们在解（证）几何问题吋，常常可利用轴对称性质构造出一个轴对称图形，这样能使解题过程更加简捷.下面举例说明.例1如图1,NABC中，=60°,AB=2AC,D是VABC内一点，满足AD=d，BD=5,CD=2,求VABC的面积.分析把VACD、NCDB.NADB分别AC、CB、AB作轴对称变换，把分散的线段，集中在VEGF中，以找到求面积的思路.解把NACD以AC为对称轴往外翻折得到VACE,把VCDB以CB为对称轴往外翻折得到VCFB,JEVADB以AB为对称轴往外翻折得到VAGB.则有AE=AG=y/3,ZEAG=2Z
2、CAB=l20°t25a/34・・・VE4G是一个边长为顶角为120。的等腰三角形，Sv&ig二丸》同理，NGBF是一个边长为5的等边三角形，S^bgf・・•ZECF=2ZACB=180。,・・・E、C、F三点共线.:NEGF是一个边长为3,4,5的的直角三角形，S、egf=6.形AEFBG=SvAEG+S'GEF+S'GBF=6+7^3.说明遇到正方形中分散的线段，构造轴对称图形，集屮到同一个图形，利用勾股定理,方程等方面解决问题.例2在RtNBAC中，ZBAC=90°,P是BC的屮点，M、N在AB.AC上,AN1PNA.PM,求证・.M
3、N2=BM2+CN2.图2分析要证MN2=BM2+CN2,联想到勾股定理，作VMPN以MP为对称轴的VMPN*,将分散线段MN,ME,CN转移同一个直角三角形来解决.证明如图2,延长NP至点使N'P=NP,连结BN',MN，•・・7MPN'与7MPN是关于以MP为轴的对称图形，・・・7MPN'MVPMN.・・・MN'=MN,PN'=NP・又JPB=PC,乙BPWNPC,・・・7BPN'次CPN.:.BN'=CN,ZN'BP=ZC.:.ACIIBN由ZBAC=90°,得VMBAT是直角三角形，:.MNt2=BM2+CN'2,MN2=BM2+
4、CN2.说明遇到勾股数的线段，构造轴对称变换，再用三角形全等，把对应线段转化同一个三角形促使问题解决.例3如图3所示，VABC中，AB=6,AC=3,ZBAC=120°,ZBAC的平分线交BC于D,求AD的长.分析由于AD平分ABAC,因此我们可以作AD为轴的对称变换.证明取中点C',连结CC*,交AD于O点，易知VAOC和VAOC1关于人。对称，AO丄CC由于ZAOC=30°fAC=3,:.AO=~.2延长AC至点歹，使AB'=6,连结交AD延长线于E.显然，VABE和VAB'E关于AE对称，且AE丄由于OC是VABC的中位线，311.
5、-.AO=OE=-fOC=-EB'=-BE.222小OCODOD1Q=，=—,BEDEDE231・・・3OD二一，・・・OD=—.2231于是，AD=-+-=2.22说明遇到特殊角的三角形，构造轴对称图形，利用特殊的30。直角三角形性质或三角形中位线性质，使线段成比例，分段求解线段的例4己知等边VABC,E在BC的延长线上，CF平分Z4CE,点P在射线BC上,点Q为CF上一点,连结APfPQ.若AP=PQfZAPQ是多少度.分析本题关键是构造NPCQ关于BE的轴对称图形VPC7?,则AP=PQ,于是转化为AP=PR,且有ZPAR=ZPRA,
6、从而找到解题的途径.解如图4,作点0关于BE的对称点/?,交BE于点H,从而可得NQCH决RCH,ZQCH=ZRCH=60°.由A,C,R在同一直线上，易证NPCQ决PCR,从而ZQPH=ARPH,PR=PQ,ZPQC=ZPRC.又由于AP=PQt从而AP=PR,:.APRA=ZPAR.・•・ZBAP+APAC=APQC+AOPC.・・・ZBAP=ZQPC.即ZBAP+ZB=ZQPC+ZAPQ,:.ZAPQ=60°./I”图4说明等腰（等边）三角形是轴对称图形，充分利用轴对称性质求解，是解决问题的关键.例5如图5,在正方形ABCD中，E在B
7、C上，BE=2,CE=1,P在BD上，求PE与PC的长度和的最小值.分析利用BD是正方形的对称轴，连结APfAP就是PC的对称线段，把所求PE与PC的长度和的最小值转化为求AP+PE的最小值.解因为ABCD为正方形，所以A、C是关于3D所在直线对称的对称点，连结AP,AE,由对称性知，AP=PC,则PC+PE的最小值为AP+PE的最小值而AP+PE,由三角形三边关系，知AP+PE>AE即最小值就是4E在R2ABE中，AE=yjAB2+BE2=V22+32=V13.所以AP+PE的最小值是JT5.说明遇到最短距离问题，一般都要利用轴对称的知识
8、，在将问题转化两点线段最短來解决.例6如图6,四边形ABCD的对角线AC与BD,它们相交于点O,AC丄3D,OA>OC,试说明线段BC+AD>AB+CD的理由.分析题中BC+AD
