中考数学解题方法复习

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1、解读新课程中的三点共线问题江西省大余县南安中学齐海平341500纵观数学新教材与近几年的中考题，三点共线问题的题型不同程度地屡次出现在学生的面前，由于这类题型具有一定的技巧性，且综合性较强，大部分学生对这类题型往往感到芒然不知所从，只能是“望题兴叹”。为了使学生很好掌握初中阶段证明三点共线的基本方法，笔者对这类问题从方法做了简单的归纳，仅供同行在教学时参考。一、一道平凡的证明题的启示在一次期中考试有这样一道证明题：例1、如图，在ABCD的纸片中，AC⊥AB，AC与BD相交于O，将△ABC沿对角线AC翻转1

2、800，得到AB′C。求证：以A、C、D、B′为顶点的四边形是矩形；在批改试卷的过程中发现每个班只有少数几个学生证明过程正确，有的班级甚至一个也没有。大部分学生的证法如下：解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AB=CD∴AB′∥CD∵△AB′C是由△ABC折叠得到∴AB=AB′∴AB′=CD∴四边形ACDB′是平行四边形。此题的错误在于由AB∥CD马上推出AB′∥CD，而忽视了点A、B、B′必须在同一直线上这一个前提；这说明学生对三点共线缺乏一定的认识，只是凭自己的主观臆想来答题，此题的正确解法

3、应是：解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AB=CD∵△AB′C是由△ABC折叠得到∴AB=AB′，∠BAC=∠B′AC∵AC⊥AB∴∠BAC=∠B′AC=90°∴∠BAC+∠B′AC=∠BAB′=180°∴点B、A、B′三点在同一直线上∴AB′∥CD∴四边形ACDB′是平行四边形。二、巧用平行公理，平角等几何证法例2（2005年资阳市）如图，已知点M、N分别是△ABC的边BC、AC的中点，点P是点A关于点M的对称点，点Q是点B关于点N的对称点，求证：P、C、Q三点在同一条直线上。证法一：连结P

4、C、QC在△ABM与△CPM中，AM=PM，∠AMB=∠CMP，BM=CM。∴△ABM≌△CPM∴∠ABM=∠CPM∴AB∥PC同理可证：CQ∥AB由平行公理知P、C、Q三点任同一直线上。解题妙法总结：本题主要是利用了平行公理的知识来完成证明的，通过添加辅助线CP，CQ构造出了两对全等三角形，进而利用平行线的判定方法顺利地解决问题；此外，本题还可以连结MN、CP、CQ，利用三角形的中位线定理与平行公理来完成此题。证法二：连结PC、QC在△ABM与△CPM中，AM=PM，∠ANB=∠CMP，BM=CM∴△A

5、BM≌△CPM∴∠ABN=∠PCM同理平证：∠BAN=∠QCN∵∠ABM+∠BAN+∠ACB=180°∴∠PCM+∠QCN+∠ACB=180°即∠PCQ=180°∴P、C、Q三点在同一条直线上解题妙法总结：本题的证明主要是利用平角的知识来完成的，为此应通过添加适当的辅助线构造出两对全等三角形，进而利用了三角形的内角和定理证明∠PCQ是一个平角即可。二、活用直线解析式、线段的和差等代数证法例3（2005年广东佛山市）“三等分角”是数学史上一个著名问题，但仅用尺规不可能“三等分角”，下面是数学家帕普斯借助函数

6、给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在X轴上、边OA与函数y=的图像交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图像于点R。分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=∠AOB。要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设P（a,）、R（b,），求直线OM对应的函数表达式（用含a,b的代数式表示）。（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q。请说明Q点在直线OM上。解法一：（1）设直线OM的函数表达式

7、为y=kx。∵点P（a,），R（b，）∴点M（b，）∵点M（b，）在直线y=kx上∴k=∴直线OM的表达式为y=。（2）由题意知：Q(a,)∵当x=a时，y=×a=∴点Q(a,)在直线OM上。解题妙法总结：本题主要是通过求出直线OM的解析式，再验证点Q的生标也满足该解析式来解决问题。解法二：∵P(a,),R(b,)∴M(b,),Q(a,)∴OQ==OM==QM===∴OQ+QM=OM=∴点O，Q，M在同一条直线上。解题妙法总结：本题主是通过计算两条线段之和等于第三条线段来解决问题的，利用平面坐标系中两点之

8、间距离的公式即完成证明。此外本题还可以证明△QOH与△MOC相似，得到∠QOH=∠MOC或∠OQM=180°，从而使问题得以解决。通过以上例题可以看出证明三点共线的方法所利用的知识很简单，但如果不重视对学生解题方法上的指导，学生解题具有较大的盲目性，所以在新课改理念下，我们在数学教学中应充分注重解题方法与过程的指导，注重数学思想方法和数学思维的训练，引导学生从多角度，多方位去思考问题，只有这样，学生的综合解题能力就可以得以迅速