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1、浅谈数学开放题及其设计黄建军嗓州市三界中学13758590877数学开放题是近年来高考试卷中反复岀现的一种题型，也是20世纪90年代数学教育研究的一个新兴的热点问题，但至今述没有形成完整的理论。但由于数学开放题有利于学生创新意思的培养和良好思维品质的形成，它越來越受到数学教冇人士的关注和研究。我们捉倡在平时练习和考试中适量的采用开放性试题，这样的做法对学生的学习和发展具有导向作用。它不仅可以考查学生对基础知识的掌握，更重要的是促进了数学教育的开放化和个性化，从发现问题和解决问题中培养学生的创新精神和实践能力，为新课标教材下例题的改编和新内容的掌握有一定的帮助。一、什么是数
2、学开放题所谓开放题，是相对于传统的“条件完备，结论明确”的封闭性问题而言的。戴再平在书小言：“凡是具有完备条件和固定答案的习题，我们称为封闭题，而答案不固定或者是条件不完备的习题，我们称为开放题。”而“具有多种不同解法或者多种可能解答”的问题称为“开放性问题”。数学开放题大多屈于问题性题，也有屈于探索性题，故数学开放题的特性是思维的发散和开放。二、如何构建开放题冇了开放的意识，加上方法的指导，开放才会成为可能。开放问题的构建主要从两方面进行，其一是问题本身的开放而获得新问题，其二是问题解决的开放而获得新思路。根据创造的三要素：结构、关系、顺序，我们可以为学生构建由"新解释
3、组封闭到开放的如下模式:变视角变顺序变内涵变情境下面例题可以将同一题转变组合转变内涵可以转化成更多类型的问题例1：已知a,b,meR+,并且ovb,求证：°+加＞兰b+mb1）若将传统的数学题中减少某些已知条件，或者弱化命题条件，在适当修改题口指令，可以得到如下新题：a,b,meR+,试讨论也和纟的大小关系并加以证明。b+mb2）若根据题目目标的结构特征，改变一下考查问题的角度，或者同时对目标的结构做些调整，重新结合，可获得如下思路：1.两点（b,a）,（-m,-n）的连线的斜率大于两点（b,a）,（0,0）的连线的斜率。2.b的单位溶液屮有a个单位溶质，其浓度小于加入m
4、个单位溶质的浓度3.在数轴上的原点和坐标为1的点处，分别放置质量为m、。的质点时质点系的重心，位于分别放置质量为in、b的质点。三、开放题的类型1）结论开放型这种类型的题目是给定各种条件，要求学生从条件出发探索出结论，而这种结论并不唯一。这种题目可以大大的开发学生思维的广度和深度。在教学钟可以变换求解结果，变单个确定结果为多种开放性结论，让学生根据口己思、考的方向和思考的深度來作解释。例2：用数学归纳法证明:<22I1112222W_1(2)11—<2!3!n改变结论＜2,则可改编成变式I：是否存在最小的正整数加，使得对任何応M,都有1+丄+亠+…+丄＜加？请说明理由。
5、2222"变式II：是否存在最小的正整数使对于任何heN^,都冇1+丄+丄+...+丄＜丁？请说明理由。2!3!n!将传统数学题的结论改编，使其结论待定化和多样化，这样使题口变的更加灵活。2）条件开放型这类题目的特点是改变题目的条件，让学生寻找求解的方法和思路，达到一解多变举一反三的效呆。例3：在厶ABC中，条件甲：A>B,条件乙：sin4〉sin3,则甲是乙的条件在AABC屮，条件甲：A>B,条件乙cosA>cosB,则卬是乙的条件在厶ABC屮，条件甲：A>B,条件乙：sin2A>sin2B,则甲是乙的条件在△ABC中，条件甲：A>B,条件乙：cosA2>cosB2,则
6、甲是乙的条件在△AB*,条件甲:A>B,条件乙cos2A>cos2B,则甲是乙的条件3）情境开放型该题型从生活中的具体实例作为问题给出的情境，而将该情境加以转化，即为数学屮的圆锥曲线类的求解问题。这类问题的情境设计，避免了学生对数学“学而无用”的态度的否定，加强加深了数学的生活化和综合化，让学生在特定的生活中门行设定和探寻，体现数学的计划性预测和规划的能力。例4.这是一个简单的全球定位系统:A,B,C三地各设置一个定位信号发射塔,无线电定位信号同时从这三塔发出，用户利用全球定位系统接收机接受它们的信号，并计算显示出用户在所在地的位置。现已知AB=40（）千米，BC=CA=
7、20（）V2千米，无线电信号的传播速度为3x10'千米，在某地的全球定位接受机显示，接受到B发出的无线电信号。如果以直线AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴，以千米为单位长（A在x的止半轴，c在y轴正半轴）建立坐标系，那么该地的坐标为.（地而可以看成平而）4）策略开放型这类问题的特点是具有解题方法的多样性，不确定性或策略选择性等特征。■西部□北部进行策略开放题的训练也就是加强思维和方法的训练例5：如图所示：有一条河MN,河岸的一-侧有一很高的建筑物AB,—人位于河岸的另一侧P处，手中有一个测量器，请你设计一种测量方案，并给出计算
