《数学建模》作业3

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1、《数学建模》作业3一、判断题：1、当样本相关系数r=-1时，说明变量之间存在完全的正相关关系。(V)2、模型误差是可以避免的。(x)3、指数分布一般用来描述寿命问题。(V)4、生态模型属于按模型的应用领域分的模型。(x)5、口箱模型意味着人们对原型的内在机理了解不清楚(x)二、货物托运问题某厂拟用集装箱托运A、B两种货物，每箱的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如表所示。问两种货物各运多少箱可获得最大利润？货物体积(立方米/箱)重量(百斤/箱)利润(百元/箱)A5220B4510托运限制2413解:设甲货

2、物、乙货物的托运箱数分别为Xpx2,所获利润为z.则问题的数学模型可表示为maxz=20X]+10x2’5X]+4x2<24s#2X]+5x2<13xpx2>OfwZ这是一个整线性规划问题.用图解法求解.可行域为：由直线I、:5工]+4x2=24厶：2x-+5x2=13及x=O,x2=0组成直线1:20兀]+10x2=c在此住、四边形区域内平行移动.X易知：当/过4与4的交点时，Z取最大值[5X,+4匕=242x1+5x2=13zmax=20x4+10x1=90（百元）・三、问题：洗衣服时衣服用肥皂或洗衣

3、粉搓洗过后，衣服上总带着污物，需要用清水来漂洗，如果现在有一定量的清水，问如何安排清洗的程序（漂洗多少次，每次用多少水）使得用这些水漂洗的衣服最干净？答：问题描述：洗衣服时，衣服用肥皂或洗衣粉搓洗过后，衣服上总带着污物需要用清水来漂洗，如果现在有一定量的清水，要建立数学模型分析如何安排清洗的程序（漂洗多少次，每次用多少水）使得用这些水漂洗的衣服最干净。模型假设：该问题是实际牛活中的优化问题，为使问题简化，给出下面的假设：（1）污物均匀分布在衣服上。（2）衣服在第一次漂洗前有一定含水量，其含水量与以后每次漂洗

4、后衣服的含水量相同。（3）忽视水温、水质等对漂洗结果的影响。模型的组建：（1）与问题有关的因素及符号说明叫：初始的污物质量（单位：克），是一常数。漂洗〃次后衣服上残留的污物质量（单位：克）n：漂洗的次数，nwN・总用水量，在木问题中是一常数（单位：公斤）2：每破漂洗后，衣服上仍留下水的质量，由假设，2是一常数（单位：公斤）。第i次漂洗的用水量，7=1,2,,比。显然mi=M（单位：公斤）（2）模型的建立日由假设可知，第一次放水后，叫克污物均匀分布于“+幽）公斤水中，衣服上残留的污物量兀•与残留的水量成正比:

5、/77OZ_叫-1+仙A同理匕=丄_>l+m?，依次类推，xn=^^（neN,n>2用数学几+叫归纳法可以证明兀（*）这即为漂洗问题的数学模型（f,2为常数）。（3）模型的求解与分析当漂洗的次数〃为一定时，如何选取每次的用水量"仗=1,2,/）,才能漂洗得最干净（即残留的污物量暫最小）。由于1+牛>0（心1,2,HA£（i+竺）》+胆是一常数。于是由“均值不等式”得台AA（1+牛）（1+牛）（1+牛）出立1+牛）］〃=（1+吟,XxXh7ZT斤几所以£=虫'（1+竺）（1+空）（1+叫）（1+竺）〃ZAA

6、nA其屮“二”当且仅当“1+字=1+与==1+饮”，即“=mn"时取AAA到，从而有如下结论：当漂洗次数一定时，每次用水量相等时洗得最干净。此时残存的污物量为/需。（1+与nA模型的结论：漂洗的优化程序是：a>根据需洗衣服的质量确定漂洗一次衣服的最小用水量（以能浸透衣服为标准）M（）；b、确定漂洗的次数n:n=—］（［x］为兀的整数部分）；M。c、将清水均分为卅份，每份理■公斤，然后分〃次漂洗。