高中数学专题一元二次方程实数根的分布

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1、一元二次方程实数根的分布教学目标：使学生掌握一元二次方程实根分布问题的处理，加强求解一元二次不等式及不等式组，初步训练学生的数形结合能力。教学重点：利用二次函数的图象，把一元二次方程根的分布转化＞图形问题转化〉代数表达式(不等式组)＞参数取值范围。教学难点：图形问题转化成代数表达式(不等式组)并求解。一・一元二次方程根的基本分布零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程ax24-/?x+c=0(ghO)的两个

2、实根为西，x2,且Xj＜x2o1、两个正根OA=Z?2-4ac>0bXj+=——>0ac八x{x2=—>0〔’a2、两负根OA=/?2-Aac>0bXi+兀2=V0acxxx2=—>03、一正根一负根x^x2=—＜0a4、一正根一负根，负根绝对值大＜一正根一负根，正根绝对值大b无］+X。=—<0ac八x}xy=—<0ab兀］+Xj=—>0a尢宀=-<0a有一根为0Xj=0,x2=>0,c=0a例若方程+(m+2)x+(m+5)=0有两正根，求实数m的取值范围.变式1：两根两负？变式2：两根一正一负？变式3：两根一正一负，且正根绝对值大？变式4：两根一正一负

3、，且负根绝对值大?例2：若一元二次方程总2+(2£-1)兀+—3=0有一根为零，则另一根是正根还是负根?分析：由已知3=0,・・・k=3,代入原方程得3x2+5x=0,另一根为负。二.一元二次方程的非零分布k分布设一元二次方程ax2+hx+c=0（qhO）的两实根为旺，x2,且xlk为常数。则一元二次方程根的P分布（即坷，兀2相对于R的位置）有以下若干定理。'一般的，可以通过数形结合得到以下结论：点函数值的符号・4。如果只涉及跟0比较大小，即正负根，则用零分布（韦达定理）解决问题。三、例题与练习1•方程x2+2px+l=0两根都大于1,,求p的取

4、值范围2.方程x2+2px+l=0两根都小于1,求p的取值范围3•方程x2+2px+l=0两根在(0,2)之间，求p的取值范围4•方程x'+2px+l二0两根在(0,2)之外，求p的取值范围5•方程x?+2px+l二0方程有两根，且在(0,2)之间有且只有一解，求p的取值范围6.若关于x的方程x2+(k-2)x+2k-l=0的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间,求实数k的取值范围(1)两根有且仅有一根在(加丿)内有以下特殊情况：1、若/(m)=0或/(H)=0,则此时/(727)□/(/!)<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为加或斤，

5、可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(加‘)内，从而可以求出参数的值。例、方程皿2一(加+2)兀+2=0在区间(1,3)上有一根，因为/(1)=0,所以mx2-(m+2)x+2=(x-l)(/7tr-2),另一根为兰，由1v兰<3得兰v〃v2即为所求；mm32、方程有且只有一根，且这个根在区间(加‘)内，即△=(),此时由△=()可以求出参数的值,然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。例、方程x2-4mA*+2/??+6=0有且一根在区间(-3,0)内，求加的取值范围。分析:①由/(-3)U/(0

6、)<0即(14加+15)(加+3)v0得出—35V-罟；3②由△=0即一4(2加+6)=0得出〃2=—1或m=—,当加=-1时，根x=—2e(—3,0),即m—-满足题意；当m=—时，根兀=3@(-3,0),故m=—不满足题意；272综上分析，得出一3

7、仅当H1)-A2)<0o(5谢3)Gzr2)〈0o3--〈冰2.□Q11综上得：也的取值范围是（-；，-

8、）u

9、,2）.4・已知二次方程（加-1）尢2+（3加+4）兀+（加+1）=0的两个根都属于（-1,1）,求加的取值范围.2.令二次函数f（x）=（22r1）x+（3^4）x^n^-1,则izrlHO,即加H1・At）=0的两个实根均在（-1,1）上，当且仅当A=(3m+4)2-4(m—l)(/n+1)>0,-l<-3m+40,(m-1)/(1)>0

10、.m的取值范围为｛m

11、-4