一元二次方程实数根的分布的探究

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1、一元二次方程实数根的分布的探究山东省肥城市第一高级中学汪达胜一元二次方程实数根的分布问题，在初高中教材中均有出现，是初高中衔接点.高中学习函数的零点的判断方法后，一元二次方程实数根的分布问题变得复杂多变，处理方法更是灵多样，成为高考能力考查的载体；仅靠初中学习的韦达定理和根的判别式来处理不很方便，笔者运用高中函数知识做以下研究并附以口诀，以期较全面地解决该问题.研究的思想：函数与方程的思想、数形结合思想、等价转化的思想和分类讨论的思想.研究的方法：利用一元二次方程根与二次函数零点关系、二次函数的连续性、函数零点的存在条件，探求存在合乎条件零点存在的条件，将根的分布问

2、题转化为混合组来解决.以方程有两不等实数根为研究基础作变式推广进行拓展性研究，进而解决与之相关的问题.基础研究一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两不等实数根x1、x2(x10则如图1则只需若a<0则如图2则只需以上两种情况均可用.证明较易从略，以下做相同处理.定理2：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两不等实数根x1、x2

3、(x10则如图3则只需若a<0则如图4则只需（2）两实数根分布两断开区间内5定理3：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两不等实数根x1、x2(x10则如图5则只需若a>0则如图6则只需定理4：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两不等实数根x1、x2(x10则如图7则只需若a>0则如图8则只需综上一元二次方程两实数根分布两区间时，只需考虑相应抛物线的开口方向和区间端点函数值的正负即可.例1：对于关于x的一元二次方程mx2+（2m-1）x+1=0,求满足下列条件的m的取值范围（1）有一正根一负根；（2）

4、一个根在1和2之间，一根在3到5之间（3）一个根大于3，一个根小于2；（4）一个根在1和3之间，一根在3到5之间；；上述四类均可用四个定理解决，解略.答案：（1）m<0，（2），（3）（4）（3）两实数根分布一区间定理5：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两不等实数根x1、x2(x10则如图9则只需若a<0则如图10则只需定理6：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两不等实数根x1、x2(x10则如图11则只需若a<0则如图12则只需定理7：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两不等实数根x1、x2(x1<

5、x2)若若a>0则如图13则只需若a<0则如图14则只需综上一元二次方程两实数根分布一区间时，除考虑相应抛物线的开口方向和区间端点函数值的正负外，还需考虑实数根的判别式的符号和对称轴的位置.例2：对于关于x的一元二次方程mx2+（2m+1）x+1=0,求满足下列条件的m的取值范围（1）两个正实数根（2）有两个负实数根（3）两个实数根都在（-3，0）内5上述三类均可定理5、6、7解决，解略.答案：（1）无解，（2），（3）对于一元二次方程有两不等实数根的分布的7个定理，为方便记忆笔者总结了口诀如下：一元二次根分布，分类处理记清楚.两根若在两区间，开口方向加端点.两根若

6、在一区间，四个方面要齐全；开口方向判别式，端点正负轴位置.拓展研究1.当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两等实数根时，可归纳到上面两不等实数根分布到一区间的类型处理，只须将判别式改成等于零即可.2.当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个实数根在（k1,k2）内时,可从方程实数根的个数及另一实数根与区间的关系进行研究(以a>0为例）推论1.方程有两等实数根如图15则只需推论2.方程有不等实数根一个根在(k1,k2）内，另一根在该区间外只需一个根在（k1,k2）内，另一实数根为区间一端点当为左端点如图16只需当为右端点如图17只需3.当区间为闭区

7、间时，只须将上述条件中区间端点函数值做相应改动即可.例3已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.分析：函数在区间上有零点，即方程在区间上有实数根.先从是一元一次方程还是一元二方程入手分类讨论，判断一元一次方程的实数根5是否在给定区间内，再对二次方程分有两不等实数根和两个相等实数根及根与区间的关系进行分类，最后化归为混合组来解决.解：1.若,由解得，在上没有零点,2.若，为一元二次方程（1）方程在两等实数根即在区间上有一个零点时，只需,解得(2)方程有两个不等实数根方程在(―1,1)内恰有两个根即在(―1,1)内恰有两个零点时,则或解得a>5或