高中数学人教B版选修2-1学案：314空间向量的直角坐标运算含解析

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1、3.1.4空间向量的直角坐标运算学习目标导航I1.了解空间向量坐标的定义.2.掌握空间向量运算的坐标表示.（重点）3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角.（难点、重点）阶段1‘认知预习质疑知识梳理要点初探）［基础•初探］教材整理1空间向量的直角坐标运算阅读教材P89〜P90“空间向量平行和垂直的条件”以上部分内容，完成下列问题.1.单位正交基底与坐标向量建立空间直角坐标系分别沿X轴，尹轴，Z轴的正方向引单位向量i,j,k,这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底卩，j,k,这个基底叫做单位正交基底.单位向量R都叫做坐标向量.2.空

2、间向量的直角坐标运算（1）设a=（di，。3），b=（b,匕2,加）・向量坐标运算法则a+方=（Q］+如，©+如©+6），a—b=仙一如，a?—b?,a厂加）,久a=（2ai,久a?，九如），(2)设/(X],yfzi),5(x2,尹2，Z2),则AB—OB—0A—（兀?_兀1，卩2_旳，Z2_zQ・也就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.。微体验01.已知向量a=(4,—2,—4),b=(6,—3,2),则卜列结论正确的是()A・a+b=(10,-5,-6)B.a—b=(2,—1,—6)

3、C.ab=lOD・2a=(8,-4,-8)【解析】易验证A,B,C均不正确，D正确.【答案】D2.在空间直角坐标系中，若力(1,3,2)，5(0,2,4),则向量鮎的坐标为・【答案】(一1，一1,2)教材整理2空间向量平行和垂直的条件阅读教材P90“空间向量平行和垂直的条件”以下部分内容，完成下列问题.a=（Qi，仇2,Q3），b=（b,b»bi）平行(a〃b)%（心OQaNgvci=2b,02=肋2，（久WR）垂直(a丄b)"必〃04力=00。］如+(72加+036=0(4,b均为非零向量)O微体验O已知向量a=(l,1,0),b=(—

4、1,0,2),且ka+b与2a—b互相垂直，则k=()A.1B・gC5D-5【解析】ka+b=(k_,k,2),2a—方=(3,2,-2),且(ka+by(2a~b)=3(k7一1)+2£—4=0,解得k=§.【答案】D教材整理3两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式阅读教材P91第10行以下部分内容，完成下列问题.若a=(ai，。3)，b=(b,仇，他)，贝0(1)«&=;(2)a=y[a^a=(3)aH0,bHO,cos(a,b)a・b丽(4)a#0,bHO,a丄b0a・b=O0【答案】(1)4如+0262+03%【解析】AB=[I，

5、ol,花=(-1,0,0),(2>/0：+恋+朋a[b[+a2b2+a3b3J15【解析】建系如图，则Ci(O丄2),D(1,0,1),力】(0,0,2),C(0,l,0)・ACYb=(l,-1,-1),/C=(0,l,-2).Acos

6、2,—1,—2).若p=AB,q=CD,求下列各式的值：(l)p+2q；(2)3p—q；(3)(p—q)(p+g)；(4)cos〈p,q>.【精彩点拨】(1)已知两点的坐标，怎样表示由这两点构成的向量的坐标?(2)向量的加、减、数乘、数量积的坐标运算的法则是怎样的？【自主解答】由于力(一1,2,1),$(1,3,4),C(0,—1,4),2)(2,-1,-2),所以p=/=(2,l,3),^=cb=(2,0,—6).(1)p+2?=(2丄3)+2(2,0,-6)=(2,1,3)+(4,0,—12)=(6,1,一9)・(2)3卩一？=3(2,1,

7、3)—(2,0,—6)=(6,3,9)—(2,0,-6)=(4,3,15).(3)(卩一?)(p+g)=p2—『=同2一切2=(2_(2,1,_3)住0,—6)_^22+l2+32X^22+02+(-6)2_-14__V35—屈X2帧10■一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：()(a+b)2=a2++l2+32)-[22+02+(-6)2]=-26.p.q(4)cos〈p,q>=

8、啲

9、2ab+b厶;(

10、2)(a+b)-(a—b)=a2—b2.［再练一题］1.已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4)・求：(1)a+6；(2)a—b；(3)ab；