2018版高中数学人教b版选修2-1学案：3.1.4　空间向量的直角坐标运算

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1、2018年人教B版高中数学选修2-1学案3．1.4　空间向量的直角坐标运算学习目标　1.了解空间向量坐标的定义.2.掌握空间向量运算的坐标表示.3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角．知识点一　空间向量的坐标表示思考　平面向量的坐标是如何表示的？梳理　空间直角坐标系及空间向量的坐标(1)建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做________________．单位向量i，j，k都叫做____________．(

2、2)空间向量的坐标在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐标系中的________．上式可简记作a＝________________.知识点二　空间向量的坐标运算思考　设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，那么m＋n，m－n，λm，m·n如何运算？梳理　空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．

3、向量运算向量表示坐标表示加法a＋b减法a－b数乘λa数量积a·b知识点三　空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则名称满足条件向量表示形式坐标表示形式112018年人教B版高中数学选修2-1学案a∥ba＝λb(λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)a⊥ba·b＝0模

4、a

5、＝________夹角cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉＝类型一　空间向量的坐标表示与运算命题角度1　空间向量的坐标表示例1　如图，在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F、G分别为

6、棱DD′、D′C′、BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标．(1)，，；(2)，，.引申探究本例中，若以{，，}为基底，试写出，，的坐标．　反思与感悟　用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练1　已知空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝112018年人教B版高中数学选修2-1学案2MA，N为BC的中点，则在基底{a，b，c}下的坐标为________．命题角度2　空间向量的坐标运算例2　已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b等于(　　)A．(2，－4，2)B．(－2，4，－2)C．(

7、－2，0，－2)D．(2，1，－3)反思与感悟　关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标．跟踪训练2　若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.类型二　空间向量平行、垂直的坐标表示例3　已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.(1)若

8、

9、c

10、＝3，c∥.求c；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.引申探究若将本例(2)中改为“若ka－b与ka＋2b互相垂直”，求k的值．　反思与感悟　(1)平行与垂直的判断①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线．②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.(2)平行与垂直的应用①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程．②选择坐标形式，以达到简化运算的目的．跟踪训练3　在正方体AC1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD

11、和A1C1的中点．证明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；(2)A1G⊥平面EFD.112018年人教B版高中数学选修2-1学案类型三　空间向量的夹角与长度的计算例4　棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．(1)求证：EF⊥CF；(2)求与所成角的余弦值；(3)求CE的长．反思与感悟　通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求

12、解夹角和距离问题．跟踪训练4　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所