2018版高中数学人教b版选修2-1学案：3.1.1 空间向量的线性运算

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1、2018年人教B版高中数学选修2-1学案3.1.1　空间向量的线性运算学习目标　1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.3.掌握数乘向量运算的意义及运算律．知识点一　空间向量的概念思考　类比平面向量的概念，给出空间向量的概念．梳理　(1)在空间，把具有________和________的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的________或______．空间向量也用有向线段表示，有向线段的________表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模

2、记为________．(2)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量起点与终点重合的向量叫做__________，记为0单位向量________的向量称为单位向量相反向量与向量a长度________而方向________的向量，称为a的相反向量，记为－a相等向量方向________且模________的向量称为相等向量，________且________的有向线段表示同一向量或相等向量共线向量或平行向量有向线段所在的直线叫做向量的基线．如果空间中一些向量的基线____________，则这些向量叫做________或________102018年人教B版高中数学选修2-1学案知识点二

3、　空间向量的加减运算及运算律思考1　下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a.思考2　由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？梳理　(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．＝＋＝a＋b，＝－＝a－b.(2)空间向量加法交换律a＋b＝________，空间向量加法结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．知识点三　数乘向量运算思考　实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？梳理　(1)实数与向量的积与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，

4、记作λa，其长度和方向规定如下：①

5、λa

6、＝________.102018年人教B版高中数学选修2-1学案②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向________；当λ＝0时，λa＝0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律①λ(μa)＝________；②λ(a＋b)＝____________.类型一　有关空间向量的概念的理解例1　给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a，b满足

7、a

8、＝

9、b

10、，则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是(

11、　　)A．1B．2C．3D．4反思与感悟　在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．跟踪训练1　(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n等于(　　)A．1B．2C．3D．4(2)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：①单位向量共有多少个？②试写出模为的所有向量．102018年人教B版高中数学选修2-1学

12、案③试写出与向量相等的所有向量．④试写出向量的所有相反向量．类型二　空间向量的加减运算例2　如图，已知长方体ABCDA′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)－；(2)＋＋.引申探究利用例2题图，化简＋＋＋.　反思与感悟　(1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝.(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，＋＋＋＋＋＋＋＝0.(3)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即a－b＝a＋(－b)．(4)由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平

13、面内的两个向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律．(5)空间向量加法结合律的证明：如图，(a＋b)＋c＝(＋)＋＝＋＝，a＋(b＋102018年人教B版高中数学选修2-1学案c)＝＋(＋)＝＋＝，所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．跟踪训练2　在如图所示的平行六面体中，求证：＋＋＝2.类型三　数乘向量运算例3　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以