2、2+b1,则为锐角三角形.探要点•究所然［情境导学］由于几何体的复杂性，导致了运用的难度，在众多的角度和边长问题中，要采用“归一”思想，即归到一个三角形内计算，需要什么就在其他三角形中求什么.探究点一求平面儿何图形中的边长例1如图所示，在梯形ABCD+，AD//BC,AB=5,AC=9fZBC4=30°,ZADB=45。,求的长.解在中，4B=5,4C=9,ZBCA=30°.由正弦定理’得~Zbca=~s^Zabc9sinZABC=ACsinZBCAAB9sin30°_93~_To-•:AD〃BC、:.ZBAD=S0°-ZABC99于是smZBAD=smZABC=^・9同理，在厶AB
3、D中，AB=5,sinZBAD=^Z4DB=45。,解得刃9=号・反思与感悟在平面几何中，求线段的长度往往归结为求三角形的边长，求三角形边长一般会涉及正、余弦定理及勾股定理，恰当地选择或构造三角形是解决这类问题的关键.跟踪训练1如图，在△/BC屮，已知B=45。，Q是BC边上的一点，AD=5fAC=hDC=3,求力3的氏・解在△/CD中，由余弦定理，得/F+CQ?—//72+32—5211cosC=2ACCD=2X7X3=l4-•••C为三角形的内角，Ace(0,180°),/•sinC=^/l—cos2C=AUAC在川眈中，由正弦定理得忍=爲5^62•7a・ACsinC14•MB—s
4、ing-sin45°探究点二实际问题向儿何问题的转化例2—次机器人足球比赛屮，甲队1号机器人由点力开始作匀速直人线运动，到达点3时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点0力作匀速直线滚动.如图所示，已知AB=4yj2dm,AD=17dm,ZBAC=45°.若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？思考1机器人最快截住足球的地方与足球滚动到达的地方有什么关系？答机器人最快截住足球的地方正是机器人与足球同时到达的地方.思考2写出例题的解题过程.解设该机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段/D上.设BC=xdm,由题意，CD=2xdm.AC=AD-CD=(7-
5、2x)(dm).在△45C中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2ABACcosAy即7=(4迈)2+(i7—2x)2—2X4迈X(17—2x)cos45°.,37解得X]=5dm,X2=~dm.所以/C=17—2x=7dm,或AC=~ydm（不合题意，舍去）.答该机器人最快可在线段/D上离点％7dm的点C处截住足球.反思与感悟解决生活实际问题就要把握如何把实际问题数学化，也就是如何把握一个抽象、概括的问题，建立数学模型.即把实际中的距离和角的大小问题转化为三角形中的几何元素,然后运用正、余弦定理加以解决.跟踪训练2如图所示，为了测量正在海面匀速行驶的某轮船的速度，在海岸上选取距离
6、为1千米的两个观察点C、D,在某天10:00观察到该轮船在/处，此时测得ZADC=30°f2分蚀后该轮船行驶至B处，此时测得Z/C3=60。，ZBCD=45。,Z4DB=60。,则该轮船的速度为多少千米/分钟？解在△BCD中，ZBCD=45。,ZADC=30°,ZADB=60°.：.ZBDC=90°.•••△CQB为等腰直角三角形，；・BD=CD=,在中，由正弦定理得:AD1sin(60o+45°)=sin45°-:.AD=在厶ABD中，白余弦定理得，肋2=「+（卑今一2><遐巴Xcos6（）o=号,・・・仙=乎，则船速为乎千米/分钟.例3如图所示，已知OO的半径是1,点C在直径的延
7、长线上，BC=,点P是。O半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD,且点Z）与圆心分别在PC的两侧.⑴若ZPOB=e,试将四边形OPDC的面积丿表示为关于&的函数;（2）求四边形OPDC面积的最大值.解（1）在△OPC中，由余弦定理，得PC2=OP2+OC2-2OP-OC-cos0=5—4cos0,所以y=S^opc^S'pcdyX1X2sin0+jx(5—4cos&)=2sin@-另(2)当&_¥=号'即&=普时,几敢=2+‘4‘.所
