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1、函数概念发展历程的阅读材料函数概念的起源,最早和人们对动点轨迹的研究密不可分。再也没有其他的例子,如同像动点作曲线运动时,它的x坐标和y坐标相互依依赖并同时发生变化那样，更有利于促使人们产全变量、因变量以产生函数的概念了.而这又正是解析几何学的主耍内容.14世纪时,法国数学家奥莱斯姆(Oresme,1323-1382)在表示依时间t而变的变数x时,他画出了图形,把t称为“经度(longitude),把x称为“纬度”(latitude)。但是他并没有连续的概念,只是建立了孤立的点与点之简的对应.这种
2、方法被开普勒(Kepler,德,1571-1630)和伽利略(Galilei,意大利,1564-1642)应用于关于天体运行方面的研究。17世纪的绝大部分函数是被当作曲线来研究的,而曲线被看作运动着的点的路径这样的思想通过牛顿等人的工作而获得了认可与接受。牛顿在他的《求曲边形的面积》中说:“我认为这里的数学量,不是由小块合成的,而是由连续运动描出的”。英国数学家哈略特(Harriot,1560一1621)应用了直角坐标的概念求出了曲线的方程.当坐标系一经给定,则某些几何问题便可以用代数的形式表现出
3、，这正是解析几何学的主耍方法.这样,函数的概念便又和轨迹的代数表达式发生了密切联系.法国著名的数学家费尔玛(Fermat,1601-1665)在他的《平面、立体曲线导论》中,取相交的直线建立坐标系,导出了直线、圆还有其它一些圆锥曲线的方程。法国著名数学家笛卡尔(Descartes,1596-1650)在他的《几何学》中明确地给出了点的坐标概念,由此当点P根据某特定条件运动时,它的两个坐标之间的互变关系可用曲线的方程表示。人们通常把变量概念的引入和解析几何的诞生归功与笛卡尔,他确实让用代数关系式表示
4、变化的量间的关系(主要是曲线)的方法逐渐流行起来了。总的说来,尽管描绘曲线方程的解析几何的方法已出现,但至少到17世纪上半叶,纯粹的函数概念并没有被提出来。莱布尼兹(Lei-bniz)在1673年首先提出“函数”这一名词.他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量.象曲线上的横坐标,纵坐标,切线的长度,垂线的长度等。牛顿(Newton)几乎同时用另一名词“流量”来表示变量间关系。1697年,约翰·伯努利给出了函数的第一个定义:一个按照任何方式用变量和常量构成的量.1698年,他采用了莱布尼
5、兹的说法,称这个量为“x的函数”,表示为X.1718年,他又明确定义了一个变量的函数:由这个变量和常量的任意一种方式构成的量,表示为x.伯努利强调的是函数要用公式来表示了，这是函数的解析概念的第一次扩展。1734年,欧拉引入现在的函数表示形式:fx。欧拉就把用算术运算、三角运算和指数对数运算联结变数x和常数c而成的式子,取名为解析函数的函数,并把这种函数叫做“随意函数”。这使得函数概念为适应积分的需要作出了新的推进。1797年拉格朗日在他的《解析函数论》中把一元或多元函数定义为:自变量在其中可以按
6、任意形式出现并对计算有用的表达式.换句话说,他认为,函数是运算的一个组合。傅立叶的工作更根本地改变了函数的面貌,震惊了当时的数学界。他一方面认为有限区间上的函数未必仅有唯一的表达式,另一方面又认为函数必须用解析式来表达,这靠他发明的傅立叶级数理论来支持。柯西的函数定义;对于x的每一个值,如果y有完全确定的值与之对应,则y就叫做x的函数。这样一来,无论y是用一个式子表示的,还是用多个式子表示的,甚至是否要通过式子表示都无关紧要了,只要对x的每一个值,y有完全确定的值与之对应,则y就是x的函数。不过当
7、时柯西在所给函数定义中,用多个式子表示函数情况是在区间上的函数,或由等表示情况。著名的黎曼——狄里克雷的出现无疑是给柯西出了个难题,1837年，他定义函数:对于x的每一个值,如果有完全确定的值与之对应,不论x,y所建立的对应方式如何,y都叫做x的函数。这样,就是一个函数了，函数是不容易用解析式来表达的。这个定义和我们现在中学教科书中的函数概念已经很接近了,它不仅把变量之间的关系描述为对应变化的关系,而且就函数的解析表达式也做了讨论。前面两个世纪的人们把更多的注意力投放在函数的解析式上，数学家开始关
8、注自变量的取值范围。把函数自变量的取值范围从实数域扩大到了复数域,相应地就有了实变函数论和复变函数论的区分。再有自变量在一个区间上的取值情况变得复杂起来,它有时可以无限制地取遍该区间上的所有值,有时必须按特定条件取值,新的情况促使人们寻找新的视角来定义函数的概念。从19世纪70年代开始,康托尔发表了一系列文章,系统地分析和刻画了实数的连续性及无穷集合的性质,出现了连续统等问题的研究,逐步形成并诞生了集合理论.在康托尔开创了集合论理论后,由于其对于数学的基础性,成为现代数学描述的基础
