阅读与思考函数概念的发展历程

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1、在函数概念教学中要突出函数的本质函数概念的本质是：函数是两个变量之间的一种特殊的对应关系；函数概念所反映的思想方法是：自变量、因变量都取实数值（这样才有可能用数及其运算的知识来考察现实问题的变化规律）；因变量的取值有唯一性；用数以外的符号f(x)表示函数（具体表示形式可以是解析式、图象或表格）．为了让学生在经历函数概念的概括过程中，更好地体会其本质和思想方法，我们遵循教材编写意图，在教学设计中强调通过一些具有真实背景的典型实例，从“变量说”出发，引导学生用集合与对应的语言分析它们的共同特征，再概括出“对应说”．这样既衔接了初中阶段将函数看成变量间依赖关系的认识，又使学生在用集合与对

2、应的语言刻画函数概念的过程中形成对函数概念本质的切身体验．有关函数的常见问题一般有两类：一类是数学中有关函数的问题，包括单纯的函数问题和函数与其它知识交汇的问题；另一类是建立函数模型解决实际问题．灵活解决有关函数问题可以促进对函数概念的进一步深化．1.在解决数学问题的过程中把握函数概念本质研究函数三要素、性质、图象是常见的问题，问题中所给函数的形式往往更为复杂或更为抽象，如给出的函数是分段函数、由一些基本初等函数经过四则运算得到的函数、复合函数、含有字母的函数、抽象函数等，虽然函数形式发生了很多变化，但它毕竟是非本质变化，对应的本质不会改变．从“形”的角度观察，两个图形都关于原点对

3、称，左图中，当时，与它对应的值有两个，这不是函数图象，此图可以加深对函数概念的理解．从“数”的角度抽象函数性质，右图所描述的函数是奇函数，容易求得其解析式，证明它是奇函数则需要理解奇函数的本质．先观察其定义域关于原点对称，然后，分类讨论以及时，都有，这需要正确理解函数概念本质，准确运用各段的对应法则．2.在研究实际问题的过程中提升函数概念的本质为了让学生更深刻地体会函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，可以通过研究性学习或实习作业，引导学生研究生活中两个变量之间的函数关系，进一步深化对函数概念的领悟和运用．众所周知，越是基础性的概念，其统摄性就越强，应用范围就越广，学生从中领悟

4、到的数学就越本质，所形成的思维方式、养成的思维习惯对学生的终身发展也就越有根本性影响．所以，对这些概念就越要强调理解的深刻性、基础的稳固性．但事物总有两面性，这些概念的理解和掌握往往难度大、时间长，需要更多的经验积累．“是非经过故知难”，亲身经历过的事情感悟才会深刻．因此，这些概念的教学要非常讲究从简单到综合地组织内容，要特别耐心地进行循序渐进的渗透和提高，要特别强调让学生经历从具体到抽象的概括过程．中学数学中，扮演这种奠基角色的概念不是很多（如数及其运算、空间观念、数形结合、向量、导数、统计观念、随机思想等），但函数概念是当之无愧的一员．因此，教学设计中，我们以教材提供的概念概括

5、过程和素材为依据，特别注意以具体例证为载体化解函数的抽象性，为学生搭建理解的平台，铺设概括的路线和阶梯，以帮助学生感悟函数概念的“本来面目”．其中特别注重典型实例、表格和图像直观等的作用，并强调在思想方法上给予明确、具体的指导．（1）铺设概括路线．教材在简要回顾初中函数概念的基础上，以三个有真实背景的实例为载体，先从“变量说”出发，并用集合与对应的语言详细讲解第一个实例的对应关系，再引导学生模仿叙述后两个实例的对应关系，然后以“你能概括一下这三个实例的共同特征吗？”为引导，使学生概括实例的本质而形成“对应说”．接着，在函数的表示、函数的性质等内容中，不断强化对函数这一类特殊“对应关

6、系”的认识，强化对函数所研究的问题和思想方法的理解．教材铺设的这一概括路线符合学生的认知规律，是设计教学过程的基本依据．（2）选择典型、丰富的实例．教材提供的实例是精雕细琢的，特别强调了典型性和丰富性，我们相信这些例子在学生理解函数概念中能起到奠基性的“参照物”作用．因此，在函数概念的引入、表示、性质和应用等各阶段的教学中，都应用好书中的例子，为学生提供思考、探究、交流的机会，使学生在好例子的支持下开展思维，形成函数概念理解活动的强大背景支撑．（3）强调只能用图像、表格表示的函数例子的作用．表格、函数图像不仅是“表示法”的一种，从学生学习的角度看，它们使抽象的函数符号形象化，为学生

7、提供了直观的机会．例如图像的种种形象和基本性质使得学生直观地“看到”、想象到函数的定义域、值域、单调性等种种性质，看到a的取值是如何决定y＝ax的特性的，看到y＝sin(2x+)什么时候取正值或负值等．所以，图像、表格是帮助学生理解函数概念的重要载体．另外，用函数图像分析和解决问题时体现出的数形结合思想，是培养学生数学能力的重要载体．教材充分注意到了图像、表格的作用，其中特别强调了只能用图象、表格表示的函数例子的使用．我们体会，教材这样做既是为了提升学生对函数概念的认