阅读与思考函数概念的发展历程.ppt

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1、函数概念的发展历程德国F.克莱因：F.克莱因（F.Klein,1849—1925）“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。”“以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合。”一、函数概念的形成与演变1．函数以表格、曲线形态呈现一一对应思想是函数概念形成的基础约在3万年前伏羲时代IIIIIIIVV公元前1600年以前巴比伦人的数学泥板晷影差分表唐一行(张遂,683～727)在14世纪，法国奥雷斯姆(N.Oresme，1320-1382)运用曲线表示速率与时间之间的关系函数的早期形态。在17世纪，函数更多地以曲线的

2、形态呈现出来如logx,sinx，等初等超越函数做曲线来研究的。2.函数是变量function[‘fʌŋkʃən]：①功能，作用②职务，职责③盛大宴会、仪式④【数】函数“function”(函数)一词，在数学中最初出现在解不定方程。已经蕴含了一种依赖关系1673年，德国莱布尼兹的手稿里“function”-----表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量。莱布尼兹（G.W.Leibniz,1646-1716）“万能大师”1692年，莱布尼兹第一次明确给出了函数定义:“像曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等，

3、所有与曲线上的点有关的量，即称为函数.”此词出现前，Newton一直用“流量”一词来表示变量间的关系。3．函数是解析式1718年，约翰·伯努利打破几何思想的束缚，给函数如下定义:“变量的函数是由这个量和常量组成的解析表达式.”（第一次扩充）约翰·伯努利(JohannBernoulli，1667～1748年)瑞士数学家·欧拉(LeonardEuler，1707～1783)瑞士数学家变数(x)和常数之间由加、减、乘、除、开方、三角、指数、对数等算法所构成的式子均称之为“解析的函数”。1734年，欧拉以“f()”表示函数，是数学

4、史上首次以“f”表示函数。f(x)取自"function"一词的第一个字母。但他认为一个函数就是一个解析表达式，一个函数对应一条连续曲线。1748年，殴拉为使函数概念适应积分的需要，定义“函数是由手随意画的曲线”。曲线分为三种:(1)能用语言或等式来表示曲线的本质定义的(如圆)叫第一种;(2)无法用语言或等式来表示曲线的本质的叫第二种;(3)用两条以上第一种线所构成的叫第三种.他认为，只有第一种能用一个解析式y=f(x)或F(x,y)=0表示，其它两种都不能.所以把第一种曲线的解析式y=f(x)称为“真函数”，其它都是“伪

5、函数”.欧拉的这一函数概念受到达朗贝尔等人的严厉批评。数学家查尔斯（J.Charles）发现了即使是简单函数也存在着表达式不唯一的情形。如看来，一个函数就是一个解析式的论断是站不住脚的。1755年，欧拉给出了一个新的函数定义:“如果某些量这样地依赖于另一些量，当后者改变时它经受变化，那么称前者为后者的函数.”（第二次扩充）4．函数是对应在这个定义中，虽然包含了解析式给出的函数，也包含了曲线给出的函数，但并没有指出“某些量”和“另一些量”依赖关系有何特性.柯西的函数定义:“对于x的每一个值，如果y有完全确定的值与之对应，则y

6、叫做x的函数.”（第三次扩充）柯西（Cauchy，AugustinLouis1789-1857）法国数学家这个定义打破了欧拉“真函数”与“伪函数”的概念，把用分段解析式表示的关系式纳入函数定义，而且基本上摆脱了“解析表达式”的要求,侧重于关于变量间关系的认识.不过柯西给出的具体例子仍考虑的是x和y的关系以若干个解析式表示的情形。也就是说，在18世纪，人们把函数只局限在初等函数范围内，至多限于分段函数。傅立叶(Fourier,1768～1830)法国数学家、物理学家1807年,傅立叶在推导傅立叶级数时，发现一个函数可以表示成

7、一个无穷三角级数。高斯(Gauss,1777～1855)德国数学家、物理学家、天文学家1812年，高斯(Gauss,1777～1855)把超几何级数作为的函数，其表达式是无穷级数.1837，狄利克雷给出了新的函数定义:“如果对于给定区间上x的所有值都对应着完全确定的y值，则称y是x的函数.至于用怎样的方法建立所指出的对应关系完全不是重要的.”（第四次扩充）狄利克雷(Dirichet,1805～1859)德国数学家他还举出一个著名函数例子，以说明函数概念的一般性。狄利克雷的定义，避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，

8、简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。5．函数是关系法国数学家达布（G.Darboux，1842－1917）给出另一个函数打破了人们对连续函数的直观理解1861年举出了一个处处连续，但处处不可微的函数例子“