圆锥曲线中斜率之积为-1

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1、圆锥曲线之斜率之积为-1一、问题例、设椭圆的中心为O，过O作两条垂直的射线交椭圆于P、Q两点。过原点O做直线PQ的垂线OD，D为垂足。（1）求证：（2）求点D的轨迹。（3）若为O到PQ的距离，求的值。框架一：如图，椭圆，O为坐标暗点，过O作两条垂直的射线交椭圆于P、Q两点，过原点O做直线PQ的垂线OD，D为垂足，为O到PQ的距离。有如下框架。运用：1、设圆上任意一点M（x0，y0）处的切线交椭圆相交于P、Q。求证：。2、如图，椭圆的顶点为，焦点为，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设n是过原点的直线，是与n垂直相交于F点、与椭圆相交于A,B亮点的直

2、线，

3、

4、=1，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。总结：椭圆，O为坐标暗点，过O作两条垂直的射线交椭圆于P、Q两点，则：（1）（2）例、巳知椭圆的长轴长为，且与椭圆有相同的离心率.(I)求椭圆的方程；(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与有两个交点、，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.变式：1、过O作两条相互垂直的直线交椭圆分别于A，C与B，D。则四边形ABCD面积的最小值是。2、是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点。若是与椭圆的交点，

5、求的面积的最小值．框架：设椭圆的中心为原点，不过原点O的直线交椭圆与P、Q连点，过原点作直线PQ的垂线，垂足为D，表示O到PQ的距离。有如下框架图：例、如图、椭圆（a>b>0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.　　　（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；　　（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点。若直线l绕点F任意转动，恒有,求a的取值范围.变式：已知，直线椭圆分别为椭圆C的左、右焦点.（I）当直线过右焦点F2时，求直线的方程；（II）设直线与椭圆C交于A，B两点，，的重心分别为G，H.若原点O在以线段

6、GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.双曲线，O为坐标暗点，过O作两条垂直的射线交椭圆于P、Q两点，过原点O做直线PQ的垂线OD，D为垂足，为O到PQ的距离。有如下框架。例、在平面直角坐标系中，已知双曲线.(1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OP⊥OQ；(3)设椭圆.若M、N分别是、上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值.变式：已知双曲线的离心率为，右准线方程为（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与

7、双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.定点问题：一、抛物线中的定点问题框架：A，B是抛物线上的两个动点，其中分别为的倾斜角，则有如下框架：例、已知动圆过定点，且与直线相切，其中.（I）求动圆圆心的轨迹的方程；（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标变式：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图所示）.（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，

8、请求出最小值；若不存在，请说明理由.二、椭圆中的定点问题框架：A，B是上异于右顶点D的两个动点，其中分别为的倾斜角，则有如下框架：例、已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.(I)求椭圆C的标准方程;(II)若直线与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.变式：己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为．[来源:学科网]（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、

9、D三点的圆与x轴相切．