斜率乘积为定值的问题探究[安金龙]

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1、WORD格式编辑整理斜率乘积为定值的问题探究【教学目标】会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中作用．【教学难、重点】解题思路的优化．【教学过程】一．基础知识、基本方法梳理问题1．已知AB是圆O的直径，点P是圆O上异于A，B的两点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1.k2=.问题2．（类比迁移1）点P是椭圆上上异于长轴端点以外的任一点，A、B是该椭圆长轴的两个端点，直线PA,PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2=.y问题3.（引申拓展1）求证：椭圆长

2、轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线斜率之积为．问题4.（引申拓展2）设A、B是椭圆上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B的任一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2是否为定值？并给予证明．问题5.（类比迁移2）设A、B是双曲线上关于原点对称的两点，点P是该双曲线上不同于A，B的任一点，直线PA,PB的斜率是k1,k2，猜想k1k2是否为定值？并给予证明．专业资料分享WORD格式编辑整理知识梳理：结论1.设A、B是椭圆上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B的任一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则．

3、结论2.设A、B是双曲线上关于原点对称的两点，点P是该双曲线上不同于A，B的任一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则．友情提醒：以上两结论在解决填空题的时候，在你确保结论没记错的前提下，你可任性地使用；但：在解决解答题的时候，若要用到该结论，不可任性，需要进行简单的证明，否则，受伤的只是你。二．基础训练1.(2012天津理19改编)设椭圆的左、右顶点分别为，点P在椭圆上且异于两点，若直线AP与BP的斜率之积为，则椭圆的离心率为.解析：利用kAP·kBP＝，很快可以得到椭圆的离心率为.2.如图2，在平面直角坐标系xOy中，F1,F2分别为椭圆的

4、左、右焦点，B、C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D.若cos∠F1BF2＝，则直线CD的斜率为．解析：由已知可得，所以，所以，又因为，且，所以，所以专业资料分享WORD格式编辑整理．3.（2016如东月考）已知椭圆，点为其长轴的6等分点，分别过这五点作斜率为的一组平行线，交椭圆于点,则这10条直线,的斜率的乘积为．变式.（吓吓你）已知椭圆，点为其长轴的2018个等分点，分别过这2017个点作斜率为的一组平行线，交椭圆于点,则这4034条直线,的斜率的乘积为．图34.（2011江苏18改编）如图3，已知椭圆方程为，过坐标原点的直线

5、交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k，对任意，求证：PA⊥PB．分析：可以转化为证明KPAKPB=-1，注意到KABKPB==．法一：由题意设，A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，，两式相减得：，，．法二：设,A、C、B三点共线，又因为点A、B在椭圆上,专业资料分享WORD格式编辑整理,两式相减得：,,．法三：设，则，，，即,设，因为，,所以，又因为，在椭圆上，所以，，所以，所以,所以,即．方法梳理：一.解决直线和圆锥曲线问题的一般方法：Step1设（点的坐标、直

6、线方程、曲线方程）；Step2代（点的坐标代入方程，方程联立方程组代入消元）；Step1化（化简方程，解方程）.二.常用的化简策略“设而不求”，整体代换三.解决此类问题的基本要求1、“思路清晰”，“出路通达”；2、书写规范，推算严谨。三.典型例题例1.（南京市、盐城市2017一模改编）已知椭圆的方程,直线，（）交椭圆于两点，为弦的中点，，记直线的斜率分别为，当时，求的值.解：（1）方法一：设，，，联立，消去，得，因为，，所以恒成立，专业资料分享WORD格式编辑整理，，又，所以，所以，，则.方法二：设，，，则，两式作差，得，又，，∴，∴，又，在直线上，

7、∴，∴，①又在直线上，∴，②由①②可得，，所以，，所以.例2.（2013苏北四市模考题改编）如图，在平面直角坐标系中，椭圆，若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点.（1）设直线的斜率为直线的斜率为专业资料分享WORD格式编辑整理，求证：为定值；（2）设过点垂直于的直线为.求证：直线过定点，并求出定点的坐标.解．（1）法一、设，，则，，因为三点共线，所以，所以，，因为在椭圆上，所以，故为定值．法二、设，因为,所以所以，又因为在椭圆上，所以，所以，设直线的方程为，则直线的斜率为，，直线的斜率为，所以为定

8、值．（2）法一、直线的斜率为，直线的斜率为,则直线的方程为，==，所以直线过定点．法二、由（1）知，又因为，