斜率乘积为定值的问题探究(安金龙)

《斜率乘积为定值的问题探究(安金龙)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、苏州市“2017届高考数学第二轮复习研讨会”教学案园区二中安金龙斜率乘积为定值的问题探究【教学目标】会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中作用．【教学难、重点】解题思路的优化．【教学过程】一．基础知识、基本方法梳理问题1．已知AB是圆O的直径，点P是圆O上异于A，B的两点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1.k2=.问题2．（类比迁移1）点P是椭圆上上异于长轴端点以外的任一点，A、B是该椭圆长轴的两个端点，直线PA,PB的

2、斜率分别为k1，k2，则k1k2=.y问题3.（引申拓展1）求证：椭圆长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线斜率之积为．问题4.（引申拓展2）设A、B是椭圆上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B的任一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2是否为定值？并给予证明．问题5.（类比迁移2）设A、B是双曲线上关于原点对称的两点，点P是该双曲线上不同于A，B的任一点，直线PA,PB的斜率是k1,k2，猜想k1k2是否为定值？并给予证明．第13页共13页苏州市“2017届高考数学第二轮复习研讨会”教学

3、案园区二中安金龙知识梳理：结论1.设A、B是椭圆上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B的任一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则．结论2.设A、B是双曲线上关于原点对称的两点，点P是该双曲线上不同于A，B的任一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则．友情提醒：以上两结论在解决填空题的时候，在你确保结论没记错的前提下，你可任性地使用；但：在解决解答题的时候，若要用到该结论，不可任性，需要进行简单的证明，否则，受伤的只是你。二．基础训练1.(2012天津理19改编)设椭圆的左、右顶点分别为，点P在椭圆上

4、且异于两点，若直线AP与BP的斜率之积为，则椭圆的离心率为.解析：利用kAP·kBP＝，很快可以得到椭圆的离心率为.2.如图2，在平面直角坐标系xOy中，F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，B、C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D.若cos∠F1BF2＝，则直线CD的斜率为．解析：由已知可得，所以，所以，又因为，且，所以，所以第13页共13页苏州市“2017届高考数学第二轮复习研讨会”教学案园区二中安金龙．3.（2016如东月考）已知椭圆，点为其长轴的6等分点，分别过这五点作斜率为的一组平行线，交椭圆于点

5、,则这10条直线,的斜率的乘积为．变式.（吓吓你）已知椭圆，点为其长轴的2018个等分点，分别过这2017个点作斜率为的一组平行线，交椭圆于点,则这4034条直线,的斜率的乘积为．图34.（2011江苏18改编）如图3，已知椭圆方程为，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k，对任意，求证：PA⊥PB．分析：可以转化为证明KPAKPB=-1，注意到KABKPB==．法一：由题意设，A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，，两式相

6、减得：，，．法二：设,A、C、B三点共线，又因为点A、B在椭圆上,第13页共13页苏州市“2017届高考数学第二轮复习研讨会”教学案园区二中安金龙,两式相减得：,,．法三：设，则，，，即,设，因为，,所以，又因为，在椭圆上，所以，，所以，所以,所以,即．方法梳理：一.解决直线和圆锥曲线问题的一般方法：Step1设（点的坐标、直线方程、曲线方程）；Step2代（点的坐标代入方程，方程联立方程组代入消元）；Step1化（化简方程，解方程）.二.常用的化简策略“设而不求”，整体代换三.解决此类问题的基本要求1、“思路清晰”，“出

7、路通达”；2、书写规范，推算严谨。三.典型例题例1.（南京市、盐城市2017一模改编）已知椭圆的方程,直线，（）交椭圆于两点，为弦的中点，，记直线的斜率分别为，当时，求的值.解：（1）方法一：设，，，联立，消去，得，因为，，所以恒成立，第13页共13页苏州市“2017届高考数学第二轮复习研讨会”教学案园区二中安金龙，，又，所以，所以，，则.方法二：设，，，则，两式作差，得，又，，∴，∴，又，在直线上，∴，∴，①又在直线上，∴，②由①②可得，，所以，，所以.例2.（2013苏北四市模考题改编）如图，在平面直角坐标系中，椭圆，

8、若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点.（1）设直线的斜率为直线的斜率为第13页共13页苏州市“2017届高考数学第二轮复习研讨会”教学案园区二中安金龙，求证：为定值；（2）设过点垂直于的直线为.求证：直线过定点，并求出定点的坐标.解．（1）法一、设，