从椭圆第一定义到第二定义的几种过渡方法

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1、万方数据中学数学杂志(高中)2006年第6期15从椭圆第一定义到第二定义的几种过渡方法山西太原外国语学校030027李冬胜(特级教师)椭圆第二定义是教学中的一个难点，也是一个疑点．其关键是做好从第一定义到第二定义的过渡．几次听课中，几位老师都是直接写出第二定义(教材中例4)，然后化简，最后总结道：虽然两种定义形式不同，但轨迹方程是相同的，嘟是椭圆的标准方程．学生感到茫然．那么，究竟为什么会出现定义形式不同，轨迹方程相同呢?1从教材的推导过程去分析全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上)p·93将等式~／(z+c)2+y2+、／(z—f)2+y2=2口移项

2、平方后，整理得口2一cz=口√(z—c)2+y2(1)如果我们将这一等式变形，可得厂ii研：旦(垒二一z)(2)“L可以看出。这一形式实际上就是椭圆第二定义形式．因此在讲第二定义之前，让学生去分析(1)、(2)，便可得到椭圆的第二定义形式．当然也可以在讲第一定义的时候，提前介绍这一形式，提醒同学们今后会用到，这样处理，不仅符合学生的认知规律，而且使知识过渡自然、和谐．2从两种更为简捷的推导方法去理解由椭圆定义，通过建系设点，可得√(z十c)2+y2十~／(z—c)2+y2=2口(n>c)教材中通过移项及两次平方，求得椭圆的标准方法，不仅化简繁杂，而且运算量较大．

3、下面介绍两种较为简捷的方法，不仅较为容易求得标准方程，而且在推导过程中，更明显地会“显现”第二定义的形式．方法(1)(构造等差中项法)分析PFIl十lPF：l=2口，其特征形如等差中项公式，可设IPFlI=口～d，l’PF2I=口+d，则~／(z+f)2+v2=a—d(1)~／(z—c)2+v2=n+(f(2)(1)2一(2)2，得d=一警代入(2)得⋯：!~／(T—f)2+y2=÷(等一z)(3)(3)即为椭圆第二定义形式．将(3)平方即可得椭圆的方程．方法(2)由椭圆的定义可得以了i研+、仃ii厂可=2口①观察知“(z—f)2+j，2]一[(z+c)2+y2

4、]=一4口．②②÷①，得以i习‘了一以i习可5=一‰．③①十③，得九i丽=÷(譬一z)④④即为椭圆的第二定义形式．将④平方后可得椭圆标准方程以上两种方法是推导椭圆标准方程的较为简捷的方法．同时也是发现第二定义的很好的方法，请老师们试一试．3从第一定义导出第二定义去解释从上面的论证分析可知，椭圆的两种定义是统一的．但定义的方式是不同的，能否从第一定义推导出第二定义，如下探索：如图，动点M满足I船】l+IMF2I=2n，(2以>2c)，fF1F2I=2c，作MD上F1F2于D，D在线段FlF2上．在Rt△^亿}F2中，．y形—、ⅣⅣ舔⋯＼只oD&}——X弋～．夕图D

5、F2I=I慨Ic0眨^伊2D．在△F1MF2中，I脚212+}F1F22一l脚12=21脚2FlF2f∞《慨D，万方数据16中学数学杂志(高中)2006年第6期所以IMF22+lF1F22一lMFl2=2DF2ilF1F2I．因为IDF2I=}脚卜(冬一c)所以l慨l2+iF1F22一(2n—I眠I)2=2F，F：1．[1删

6、-(冬一c)]所以4c2—4口2+4口I脚2{=4c(I心}一冬+c)‘所以口fMF2i=cMWi，所以牛鼎=詈，即为椭圆的第二定义．对于双曲线，可以仿照上述方法，实现从第一定义到第二定义的合理过渡．有兴趣的读者，不妨一试．体现数学知识的形

7、成、发生和发展过程是数学教学重要的指导性原则．学生的知识的形成与发展，需要施教者精心地设计，合理地引导．这样才能使学生真正体验数学知识的形成和发展过程，进而提高学生的认知水平和思维水平，逐步完善其思维结构，提升其探索能力，优化其思维品质+参考文献[1]颜文杰、石礼成．椭圆两个定义的统一[J]．《数理天地》高中版，2001，9拟题十艺北京师范大学良乡附属中学102488李春雷我们在数学教学中，经常会听到学生出了考场以后的一些感受：某些数学题不难，考得很基础，而且平时这种类型的题做得很多了，这些题目应该不会丢分，但一看答案却错了，学生把问题归结为马虎了，或·时紧张疏

8、忽了，属于会而没得分，即非智力因素丢分；也有某些题目，平常经常见到，但试卷题目设问上变了变形式，就没时间考虑了，学生把问题照结为做题速度慢，另有某种类型问题平时训练少，属予不会题，即智力问题丢分．我们有些老师也可能有着和学生相同的归因，但我们应从更深层次去分析学生所提到的这些问题，概括起来应该含有两个方面：(1)从教学方面来思考：学生“会”而没得分确实是因为马虎了吗?是真的属于非智力因素丢分还是属于学生在基本概念、基本定理的理解上出了问题?这不正是我们所提到的“双基”中的基础知识不扎实的表现吗?学生“不会”真的是因为题太难吗?是学生真的智力所不能及的吗?是不是我

9、们在教学中只是满足于或忙