2020年高考数学（理）一轮复习讲练测 专题4.5 简单的三角恒等变换（讲） 含解析

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1、2020年高考数学（理）一轮复习讲练测专题4.5简单的三角恒等变换1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。2．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。3．能运用上述公式进行简单的恒等变换。　　　知识点一两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβS(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβS(α＋β)sin(α＋β)＝si

2、nαcosβ＋cosαsinβT(α－β)tan(α－β)＝；变形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)T(α＋β)tan(α＋β)＝；变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)知识点二二倍角公式S2αsin2α＝2sin_αcos_α；变形：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2C2αcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；变形：cos2α＝，sin2α＝T2αtan2α＝考点一三角函数式的化简求值【典例1】（江西省临川第一中学2019届模拟）＝__

3、______。【解析】原式＝＝＝＝＝1.【答案】1【方法技巧】1.三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．2．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．3．三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用

4、公式．(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．【变式1】(2019·辽宁抚顺一中模拟)化简：＝________。【解析】原式＝＝＝＝＝cos2x.【答案】cos2x考点二三角函数的给值求值(角)【典例2】【2019年高考江苏卷】已知，则的值是。【答案】【解析】由，得，解得，或.，当时，上式当时，上式=综上，【方法技巧】1．给值求值问题的求解思路(1)化简所求式子．(2)观察已知条件与所求

5、式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．2．给值求角问题的解题策略(1)讨论所求角的范围．(2)根据已知条件，选取合适的三角函数求值．①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好．(3)由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角．　　【变式2】（山东省潍坊市2019届高三二模）若，则（　　）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，故选A。考点三三角恒等变换的综合问题【典例3】【2019年高考天津卷】在中

6、，内角所对的边分别为．已知，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，由正弦定理，得，又由，得，即．又因为，得到，．由余弦定理可得．（2）由（1）可得，从而，，故．【举一反三】(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．【解析】(1)因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，所以cos2α＝2cos2α－1＝－.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋

7、β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝，所以tan2α＝＝－.因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－【方法技巧】求函数周期、最值、单调区间的方法步骤(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式；(2)利用公式T＝(ω>0)求周期；(3)根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；(4)根据正、余弦函数的单调区间列