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时间:2019-10-19
《 2020年高考数学(理)一轮复习讲练测 专题4.5 简单的三角恒等变换(讲) 含解析》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2020年高考数学(理)一轮复习讲练测专题4.5简单的三角恒等变换1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。2.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。3.能运用上述公式进行简单的恒等变换。 知识点一两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α-β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α+β)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβS(α-β)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβS(α+β)sin(α+β)=si
2、nαcosβ+cosαsinβT(α-β)tan(α-β)=;变形:tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)T(α+β)tan(α+β)=;变形:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)知识点二二倍角公式S2αsin2α=2sin_αcos_α;变形:1+sin2α=(sinα+cosα)2,1-sin2α=(sinα-cosα)2C2αcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;变形:cos2α=,sin2α=T2αtan2α=考点一三角函数式的化简求值【典例1】(江西省临川第一中学2019届模拟)=__
3、______。【解析】原式=====1.【答案】1【方法技巧】1.三角函数式化简的方法(1)弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次,去掉根号.2.三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边,相当于解决化简题目.(2)等式两边同时变形,变形后的结果为同一个式子.(3)先将要证明的式子进行等价变形,再证明变形后的式子成立.3.三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的变换,从而正确使用
4、公式.(2)二看“名”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”或“弦化切”.(3)三看“形”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等.【变式1】(2019·辽宁抚顺一中模拟)化简:=________。【解析】原式=====cos2x.【答案】cos2x考点二三角函数的给值求值(角)【典例2】【2019年高考江苏卷】已知,则的值是。【答案】【解析】由,得,解得,或.,当时,上式当时,上式=综上,【方法技巧】1.给值求值问题的求解思路(1)化简所求式子.(2)观察已知条件与所求
5、式子之间的联系(从三角函数名及角入手).(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.2.给值求角问题的解题策略(1)讨论所求角的范围.(2)根据已知条件,选取合适的三角函数求值.①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是,选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为,选正弦函数较好.(3)由角的范围,结合所求三角函数值写出要求的角. 【变式2】(山东省潍坊市2019届高三二模)若,则( )A.B.C.D.【答案】A【解析】因为,所以,故选A。考点三三角恒等变换的综合问题【典例3】【2019年高考天津卷】在中
6、,内角所对的边分别为.已知,.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1);(2).【解析】(1)在中,由正弦定理,得,又由,得,即.又因为,得到,.由余弦定理可得.(2)由(1)可得,从而,,故.【举一反三】(2018·江苏卷)已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=-.(1)求cos2α的值;(2)求tan(α-β)的值.【解析】(1)因为tanα=,tanα=,所以sinα=cosα.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,所以cos2α=2cos2α-1=-.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos(α+β)=-,所以sin(α+
7、β)==,因此tan(α+β)=-2.因为tanα=,所以tan2α==-.因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-【方法技巧】求函数周期、最值、单调区间的方法步骤(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(ωx+φ)+t或y=Acos(ωx+φ)+t的形式;(2)利用公式T=(ω>0)求周期;(3)根据自变量的范围确定ωx+φ的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值,另外求最值时,根据所给关系式的特点,也可换元转化为求二次函数的最值;(4)根据正、余弦函数的单调区间列
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