第1章极限与连续

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1、第1章极限与连续1.1初等函数.1.2函数的极限.1.3函数极限的运算.1.4函数的连续性.11.1初等函数主要内容：1.函数.2.复合函数.3.初等函数.2一、函数1.定义：设D是一个非空实数集，若对于D中每一个数x，按照某个对应关系f，总有确定的实数y与之对应，则称y是x在D上的函数，记作：y=(x).数集D称为这个函数的定义域.3有时会遇到给定一个x值,对应的y值有多个的情形,为了叙述方便称之为多值函数.若y值唯一,称之为单值函数.对于多值的情形,我们可以限制y的值域使之成为单值再进行研究.4例1解例2解5分

2、段函数：在定义域的不同范围内用不同的解析式表示的函数.例如，函数对分段函数求函数值时,应把自变量的值代入相应范围的表达式中去.例3解62.函数的两个要素：函数的定义域和对应法则.当函数的定义域和函数的对应关系确定以后，这个函数就完全确定了．因此，常把函数的定义域和函数的对应关系叫做确定函数的两个要素．两个函数只有当它们的定义域和对应关系完全相同时，这两个函数才认为是完全相同的．7解显然，只有在时，所以这两个函数在实数集上是不同的．它们的对应关系才相同，83.函数定义域的求法：在考虑实际问题时，应根据问题的实际意义来

3、确定函数的定义域。对于用函数式子表示的函数，它的定义域应使函数表达式本身有意义.（1）在分式中，分母不能为零；（2）在根式中，负数不能开偶次方根；（3）在对数式中，真数不能为零和负数；（4）在反三角函数式中，要符合反三角函数的定义域；（5）如果函数表达式中含有分式、根式、对数式及反三角函数式，则应取各部分定义域的交集.9解104．反函数定义：习惯上用x表示自变量，y表示因变量．因此函数y=f(x)的反函数可表示为的图象关于直线y=x对称.函数y=f(x)的图象与其反函数11求反函数的一般步骤：解125．函数的简单性

4、态(1)函数的单调性13(2)函数的奇偶性yxox-xyxox-x14解15(3)函数的有界性注意有可能出现以下的情况：函数在其定义域上的某一部分是有界的，而在另一部分是无界的，因此，讲一个函数是有界的或无界的，必须指出其相应的范围．16(4)函数的周期性定义若周期函数存在最小正周期，则称此最小正周期为基本周期，简称周期．例如，17二、复合函数1．基本初等函数我们已学过的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.18函数图像定义域(-∞,+∞)(-∞,+∞)[0,+∞)(-∞,0)∪(0,

5、+∞)值域(-∞,+∞)[0,+∞)[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇函数偶函数非奇非偶奇函数单调性单调增(-∞,0]内递减[0,+∞)内递增单调增(-∞,0)和(0,+∞)内分别递减oyoooyyyxxxx19函数a>1010

6、,+∞)(-∞,+∞)值域[-1,1][-1,1](-∞,+∞)(-∞,+∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数周期性T=T=T=T=单调增单调减单调增单调减单调减单调减单调增单调减单调减单调增单调增单调减单调增单调增单调增单调减oyoooyyyxxxx21反三角函数函数y=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccotx图像定义域[-1,1][-1,1](-∞,+∞)(-∞,+∞)值域单调性单调增单调减单调增单调减f(-x)f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)oyoooyyyxxxx11-

7、1-1222．复合函数定义例如，23为了研究的方便，往往把一个比较复杂的函数分解成几个比较简单的函数的复合．要把复合函数分解好，必须把基本初等函数的形式记住．例8指出下列复合函数的复合过程：解24三、初等函数定义由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算及有限次的复合而构成的并且只用一个解析式表示的函数称为初等函数．例如，应当注意：所以它也是初等函数．25四、小结1.函数的定义.分段函数：在定义域的不同范围内用不同的解析式表示的函数.2.函数的两个要素：函数的定义域和对应法则.3.函数定义域的求法.4.反函数及其求法

8、.5.函数的简单性态：单调性、奇偶性、有界性和周期性.6.基本初等函数.7.复合函数.8.初等函数．26布置作业:27