第2章极限与连续

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1、第2章极限与连续第2章极限与连续【知识目标】l理解极限与连续的概念；l掌握极限的四则运算法则，熟练使用两个重要极限；l理解无穷小的定义与性质，会利用等价无穷小求极限；l理解函数连续的定义，掌握判断函数在一点处连续性的方法；l理解闭区间上连续函数的性质．【能力目标】l能熟练掌握极限的计算方法；l能准确判断函数在一点的连续性，会求函数的间断点，并确定其类型；l能根据极限的思想，对具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系有初步的了解，提高发现问题、分析问题的能力，树立辩证的观点．案例二：非法传销为何如此吸引人？近年来，非法传销引起了人们广泛关注，相关的新

2、闻报道层出不穷，其参与人数之多，波及范围之广，更是让人大为震惊．那么，非法传销为何能吸引如此多的人呢？甚至很多大学生也深陷其中？学习本章极限的知识，能帮我们解开谜团．极限在生活中很多领域都有着广泛的应用，如药物在人体内的代谢、细菌的繁殖、某产品的产量和价格变化等，都可以通过极限来进行研究．作为微积分的一个重要基本概念，微积分中的许多理论都是以极限为基础的，如连续、导数、定积分等，都是通过极限来定义．本章我们首先介绍极限的概念，在此基础上进一步学习极限的性质和计算方法，并引入函数的连续性，为学好微积分打好基础．41第2章极限与连续2.1极限2.1.1数列

3、的极限引例1我国战国时期哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》里有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．意思是说：一尺长的木棒，每天取它的一半，永远取不尽．问题所组成的数列为1，，，，，．引例2我国魏晋时期的数学家刘徽(公元前225—295)在其《九章算术》中，提出了用割圆术的方法确定圆的面积．对于一个圆，先作圆内接正六边形，记其面积为A1，再作圆内接正十二边形，记其面积为A2，如此循环下去，每次边数成倍增加，得到一系列圆内接正多边形的面积　　　　　　A1，A2，A3，…，An，…，其中内接正边形的面积记为An，越大，对应的内接正多边形的面积就越接近于圆

4、面积，但无论内接正多边形的边数有多大，所得到的An始终不是圆的面积．只是当n无限增大(记作)时，An无限接近于圆的面积．上述两个引例有一个共同的特征：自变量无限增大时，相应的函数值接近于某一个常数。例1试分析下面几个数列的变化趋势：(1)；(2)，，，，…，，…；(3)；(4)．解：这几个数列的变化趋势各异：数列(1)是公比为2的等比数列，随着项数的增加，的值无限增大；数列(2)随着的无限增大，无限接近常数；数列(3)的各项正好是数列(1)的倒数，随着项数的增加，的值逐渐减小，而且越来越趋近于常数零；数列(4)的各项由，交替出现构成，随着项数的增加，的

5、值不断在和之间摆动．定义2.1对于数列，如果当无限增大时，数列的通项无限地趋近于某一确定的数值，则称常数是数列的极限，或称数列收敛于，记为．否则称数列没有极限或称数列是发散的．由定义可知，在例1中，数列(2)和(3)是收敛的；数列(1)和(4)是发散的．41第2章极限与连续2.1.2函数的极限类似于数列极限，可以推广到函数的极限．研究函数极限时，我们常会遇到自变量在以下两种情况下的变化趋势．图2-11.当时的极限如图2-1所示是函数()的图像，从图中可以看出，当自变量时，函数无限趋近于常数0．定义2.2如果(即

6、

7、无限增大)时，函数无限接近于某确定的常

8、数，则称为函数当时的极限，记作或()，否则称当时，函数极限不存在．定义2.2对于和两种情形也成立．定理2.1极限存在且等于的充分必要条件是极限与都存在且等于，即=．图2-2例2求与.解：考查，由图2-2可知，当时，函数无限趋近于常数，所以=．同理当时，函数无限趋近于常数，所以=．由定理2.1可知，的极限是不存在的．图2-32.当时的极限先考查如下例子：例3讨论当时，函数的变化趋势．解：作出函数的图像，如图2-3所示，此函数在处没有定义，但从图像上可以看出，当从1的左右两侧同时趋近于1时，函数的值无限地趋近于2．41第2章极限与连续从上面的实例可以看到，

9、函数在点处的极限是否存在与其在点处是否有定义无关.定义2.3当自变量从左右两侧同时无限趋近于常数时，如果函数无限趋近于一个常数，则称为当时函数的极限,并记作,或当时，．3.左右极限有时我们只考虑从右侧趋近于，记作；或只考虑从左侧趋近于，记作时函数的变化趋势，于是引出左右极限的概念．定义2.4如果当从点的左侧(即)无限趋近于时，函数无限趋近于常数,称是函数的左极限，记作．定义2.5如果当从点的右侧(即)无限趋近于时，函数无限趋近于常数,称是函数的右极限，记作．根据→时函数的极限定义和左、右极限的定义，容易证明下面定理.定理2.2的充要条件是：.根据定义可

10、以得到如下结论：(1)；(2)(为常数).例4设函数分别讨论当→0和时的极限.解：=，，因为，