第2章 极限与连续

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1、第二章极限与连续第一讲数列的极限教学内容1.数列极限的定义;2．收敛数列的性质.教学目的与要求1．理解数列的概念；2．了解数列极限的的定义，在学习过程中要逐步加深对极限思想的理解；3．理解收敛数列的有界性，极限的唯一性等性质.教学重点与难点极限概念及其计算，极限的精确定义，利用定义求极限.教学学时2§2.1数列的极限一、数列数列按照一定顺序排列着的无穷多个数，，记为，叫数列的一般项或通项.如：1，-1，，，，通项；，通项.几何上，数列可视为数轴上一动点，它依次取数轴上点.从这个意义上讲，数列又可视为定义在自然数集上的一

2、个函数，当自变量依次取1，2，3，时，对应的函数值就排成数列.二、数列的极限直观定义：极限是数列稳定的变化趋势.观察数列，可见当无限增大时，无限接近1；即当无限增大时，与1的距离无限接近0；也即是说，当无限增大时，与1的距离可以任意小；即是说，无论事先给定一个怎样小的正数，总可以在无限增大的过程中找到一个确定的，在项之后，距离很小并保持比事先给定的那个正数更小.具体说来，当给定的正数为时，可取为大于10的整数；当给定的正数为时，可取为大于100的整数；当给定的正数为时，可取为大于10000的整数；当给定时，取大于的整数

3、.精确定义（定义）：对数列，，，当时有，则称为的极限，记为.此时亦说收敛于，否则称发散.注1：的理解，是事先给定的正数，它具有两重性.（1）任意性：这样，才能保证与无限接近，即任意小.（2）相对固定性：只有这样，才能由此找到N，使.注2：是什么数，怎样找，它与什么有关，是否唯一？（1）是数列中项数的取值，故为某一正数，它由确定.（2）找的方法：由出发解不等式得，取（或）.不过，有时为了使不等式，需要采取适当放大（）.要，只要即可.由此解出，，取.（3）由知，N与有关，越小，越大.（4）不唯一.若，则都可以.数列以为极限

4、的几何解释：定义几何意义任取开区间存在一点当以后的点都有在内，而之外只有有限个点例1用定义证明（1）；（2）；（3）0.1，0.11，0.111，，0.111，的极限为.证（1），，要，只要，即，即可取.当时有.故.(2)由，,要，只要即即可.故可以取，当时有.故.（3）先写出数列通项，.，要，只要，即即可.故取，则当有.故.例2问，并且当时，求出.解分三步：（1）观察极限；（2）验证；（3）求.（1）观察知.（2），，要，只要即即可.故取，当时，有，所以.（3）当时，.三、收敛数列的性质1.唯一性：若收敛，则极限唯一

5、.证（反证法）设，且.取.故，当时有，即，，当时有，即，取，当时，有，同时成立.产生矛盾.2.有界性定义对，若，使对一切有，则称有界，否则无界.定理若收敛，则必有界.证设，则，当时，有，从而有，取，当时，有，取，则对一切有有界.注意：有界是收敛的必要条件，非充分条件.如有界，但非收敛.推论：若无界，则一点发散.（反证法）作业：练习册等3次第二讲函数的极限教学内容1.自变量趋近无穷大时函数的极限;2.自变量趋近有限值时函数的极限;3.函数极限的性质.教学目的与要求1.理解函数极限的定义,能在学习过程中逐步加深对极限思想的

6、理解;2.了解函数极限的性质;3.了解函数的左、右极限及其与函数极限的关系;4.了解函数的左、右极限及其与函数极限的关系.教学重点与难点函数极限的概念教学时数2§2.2函数的极限一、时的极限1.朴素语言：如在的过程中，函数值无限接近于确定常数，那么叫做函数当时的极限.2.精确定义：，当时，都有，则3.几何意义：4.给定，怎样找方法：先化简，然后由解出，取即可.5.证明举例例：用定义证明证，，要，只要即即可.取，当时就有，.注：有定义：，当时，都有，则.有定义：，当时，都有，则.同样.二、时的极限1.精确定义（定义）若，

7、当时，有，则称为当时的极限.记作：或（）注：是一个小正数，它不是任意给定的，找的方法与找的方法类似.先化简，要，只要解出.取，由此可知，与有关，不唯一.表示的去心邻域.因为极限只注重时，并不注重在时是否有意义，所以定义中加了可除外.2．定义的几何解释3．用定义验证极限举例例1证明.证，，要，只要，即即可.取，当时，有.例2证明，并问可以使得时有.证（1），，要,只要即即可.故，当时有.（2）当时，.所以，取，当时有.例3证明当时，.证，，要，只要即可.所以为了保证，取则当有..4．左、右极限左极限：当，而时，则称为的左

8、极限.（精确描述），当时，有，则记为.右极限：当，而时，则称为的右极限.（精确描述），当时，有，则记为.左右极限与极限的关系：.由此可知：至少有一个不存在或存在不等时，则不存在.例：已知证明不存在.证，，即，故不存在.作业：练习册第4次第三讲极限的性质和运算法则教学内容1.极限的性质;2.极限运算法则.3.复合函数的极限教学目的与