第2章1(极限与连续)

《第2章1(极限与连续)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、江西理工大学理学院第二章极限与连续江西理工大学理学院一、概念的引入1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽播放播放江西理工大学理学院正六边形的面积A1正十二边形的面积A2RLLLLn−1A正6×2形的面积nA,A,A,L,A,LS123n江西理工大学理学院2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”1第一天截下的杖长为X=;1211第二天截下的杖长总和为X=+;2222LLLL111第n天截下的杖长总和为X=++L+;n2n2221X=1−1nn2江西理工大学理学院二、数列的定义定义:按自然数1,2,3,L编号依

2、次排列的一列数x,x,L,x,L(1)12n称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,x称为通项(一般项).数列(1)记为{x}.nnnn例如2,4,8,L,2,L;{2}11111,,,L,,L;{}nn24822江西理工大学理学院n+1n−11,−1,1,L,(−1),L;{(−1)}n−1n−114n+(−1)n+(−1)2,,,L,,L;{}23nn3,3+3,L,3+3+L+3,L注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取x1,x2,L,xn,L.x3x1x2x4xn2.数列是整标函数xn=f(n).江西理工大学理学院三、数列

3、的极限n−1(−1)观察数列{1+}当n→∞时的变化趋势.n播放播放江西理工大学理学院问题:当n无限增大时,xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?通过上面演示实验的观察:n−1(−1)当n无限增大时,x=1+无限接近于1.nn问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.n−111Qx−1=(−1)=nnn江西理工大学理学院1111给定,由<,只要n>100时,有x−1<,n100n10010011给定,只要n>1000时,有xn−1<,1000100011给定,只要n>10000时,有x−1<,n10000100001给定ε>0,只要n>N(

4、=[])时,有x−1<ε成立.nε江西理工大学理学院定义如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数N,使得对于n>N时的一切x,n不等式x−a<ε都成立,那末就称常数a是数列nx的极限,或者称数列x收敛于a,记为nnlimx=a,或x→a(n→∞).nnn→∞如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：1.不等式x−a<ε刻划了x与a的无限接近;nn2.N与任意给定的正数ε有关.江西理工大学理学院ε−N定义:limxn=a⇔n→∞∀ε>0,∃N>0,使n>N时,恒有x−a<ε.n其中∀:每一个或任给的;∃:至少有一个或存在.几何解释:2εa−εa+εxxx

5、axxx21N+1N+23当n>N时,所有的点x都落在(a−ε,a+ε)内,n只有有限个(至多只有N个)落在其外.江西理工大学理学院注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.n−1n+(−1)例1证明lim=1.n→∞nn−1n+(−1)1证xn−1=−1=nn11任给ε>0,要x−1<ε,只要<ε,或n>,nnε1所以,取N=[],则当n>N时,εn−1n−1n+(−1)n+(−1)就有−1<ε即lim=1.nn→∞n江西理工大学理学院例2设x≡C(C为常数),证明limx=C.nnn→∞证任给ε>0,对于一切自然数n,x−C=C−C=0<ε成立,n所以,limx

6、n=C.n→∞说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻ε>0,找N,但不必要求最小的N.江西理工大学理学院四、数列极限的性质1、有界性定义:对数列x,若存在正数M,使得一切自n然数n,恒有x≤M成立,则称数列x有界,nn否则,称为无界.n例如,数列x=;有界数列x=2n.无界nnn+1数轴上对应于有界数列的点x都落在闭区间n[−M,M]上.江西理工大学理学院定理1收敛的数列必定有界.证设limxn=a,由定义,取ε=1,n→∞则∃N,使得当n>N时恒有x−a<1,n即有a−1

7、+1},1N则对一切自然数n,皆有xn≤M,故{xn}有界.注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.江西理工大学理学院五、数列极限的四则运算定理4设limx=a，limy=b，则：nnn→∞n→∞(1)lim(xn±yn)=limxn±limyn=a±bn→∞n→∞n→∞(2)lim(xnyn)=limxn⋅limyn=abn→∞n→∞n→∞limxxnann→∞(3)当时b≠0，lim==n→∞ylimybnnn→∞江西理工大学理学院六、小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质:有界性、唯一性江西理工大学理

8、学院一、概