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《应用基本不等式求函数最值常见问题剖析---终结稿》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、应用基本不等式求函数最值常见错误剖析韶关市第一小学尹海军摘要：应用基木不等式求函数最值对初学者來说，很容易出现考虑不周全，解题机械地套用模式而不求其粘耍等弊端，木文结合例题从正反两方面阐述在应川基木不等式求隊I数最值时需要注意的问题,从根本上说明“一正、二定、三相等”在实际应用中的重耍地位。关键词：基本不等式；授值；正数；定值；相等基本不等式是新教材（苏教版）必修5第三章教学的重点，也是历年高考重点考查的知识点之一，它具有将“和”与“积”互相转化的功能，是证明不等式、解决函数最值问题的重要工具。尤其是在解决求函数最值问题方血，由于其形
2、式比较完美工整，解题过程简洁明T,故而颇受学生欢迎。但部分同学对应用基本不等式求函数最值的条件认识不足，一•遇到此类问题，就认为它是万能的，故而盲1=1以形式定解法，不加思考地直接套用不等式，最终导致谋用、错用、滥用，使问题得不到正确的解决。为了用好该不等式，首先要正确理解该不等式中的三个条件——“一正、二定、三和等”。下面结合实例谈谈我对该不等式几方面的理解及认识。“一正、二定、三相等”是应用基木不等式解决最值问题的重要依据。所谓“一正、二定、三相等”，具体而言，“一正”是指应用基本不等式的各代数式必须为正数；“二定”就是含变量的各
3、代数式应用基本不等式后的和（或积）必须是一个确定的数（定值）；“三和等”就是应用基木不等式的各代数式在定义域屮能够相等。但是在具体问题中，所给条件往往并非是一冃了然的满足“一正、二定、三相等”，更多的是它们隐含于所给条件Z中，所以就需要作适当地变形，通过凑、拆（拼）项、添项等技巧，对原来的条件、题目进行调整、转化，使其符合标准的“一正、二定、三相等”，以保证能使用该不等式。所以应用基本不等式求解函数最值的吋候，这三个条件是重耍依据。但部分同学总是丢三落四，忽略了其中的—•些条件导致错误。一、忽略基本不等式成立的前提条件一一“正”由基本
4、不等式可知，巫W皿成立的条件就是a,b*,当且仅当a=b时取“=”。2也就是说如果有d"均为正数，那么就有V^<—成立，所以应用基木不等式时，首先2就要考虑不等式成立的条件。2例求函数y=2x+—的取值范围。x分析：求函数的取值范围可以归结为求函数的最人最小值问题。2I2错解:vy=2x+->2j2x~=4（当且仅当兀=±1时取等号）xx:.y>42故函数）u2兀+—的収值范围是[4,+00）Ox错因分析：在解题过程中直接应川基本不等式a+b»2j亦，而忽视了应用基本不等式的各个代数式应该都是正数，从而导致错误。正解：（分析:由基本
5、不等式巫V字（卄,当且仅当一时取“=”）的变形临（a,bw疋,当且仅当d二〃吋取“二”）知，若X〉0,贝9可令a=2x,b=-，因为兀〉0,所以2x>0,->0,即有a,bwRj所以满足应用不等式a+b>14abXX的条件。若兀<0呢？）2当x〉0时，则一〉0x2x+->2J2x--=4（当且仅当兀=1时取等号）XX2当x<0时，则一2兀>0,——>0x222•••2x+-=-（-2x一一）<-2J（-2x）-（一一）=-4（当且仅当x=-时取等号）XXVX2故函数y=2%+—的取值范围为（y）,-4]u[4,+o））ox本题应首先
6、引导学生根据不等式成立的条件，判定其是否可以应用基本不等式解决。学生出现上述错误应及时纠正，使学生在头脑屮建立一个健全的解题模式，对提高学生的观察能力十分冇利。上述错漏的原因比较简单，若遇到更为复杂的问题就更要慎重，再如下面这道题，虽然形式不是很完美，但经过变形后依旧可以转化为上述类型，然而同样的问题乂出现了。例2：求函数“（x+2）（x+8）的最值。错解：・.・）,=（兀+2）（“8）=宀10兀+16=]0+卄兰>10+2/%.>6=18XX当且仅当x=—即兀=±4吋取等号X>18・•.当x=±4时，y的最小值为18,此函数没有最人
7、值。错因分析：函数尸（x+2）（x+8）的定义域为（_oo,（）2（0,+oo）,上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用基本不等式的各个代数式应该都是正数，而导致错误。正解：显然函数"（兀+2）（"8）的定义域为（_oo,o）u（0,+oo）X原函数可变形为：(x+2)(x+8)x2+10x+16“16y===10+x+—x:.y=O+x+—>10+2Jx—=18XX当且仅当x=—即兀二4时取等号当兀〉0吋，函数y=（x+2）（x+8）的最小值为18,没有最大值X当兀<0时，则一x>0,-—>0.y=10+x+—=10-(-
8、x-—)<10-2J(-x).(-—)=2XXX当且仅当一兀二—匹即兀二-4时取等号X•••y<2故当兀<0时，函数y=（x+2）（x+8）的最大值是2,没有最小值x综上所述，本题即无最人值也无最小值。对“正”这一问题
