(精选)求函数最值常见错误剖析

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1、求函数最值常见错误剖析清远市第一中学吴惠清求函数最值时，极易忽视某些或明或暗的条件，导致解题错谋，现例举剖析，以供求函数最值时作为借鉴与参考。1忽视正弦、余弦函数的有界性例1求函数y=-4sin2x+12sinx-7的最大值。错解y=-4sin2x+12sinx-7=-(2sinx-3)'+2W2/.ymax=2剖析该解法忽视了正弦函数y二sinx的有界性致错。事实上2sinx=3,BPsinx=—>1不可能。2正解y二-4sir?x+12sinx-7二-(2sinx~3)2+2sinx<1•:当sinx=l时，ymax=12忽视换元时对新元的限制例2求函数y=兀+丁2兀-

2、1的最小值。错解令a/2x-1=t,则x=i(r2+l)2'7y=—t2+/H=—(r+1)~n0••Ymin二0222剖析上面解法当t二T时，y=0,而由f=丁2兀一1知t二一1不可能，所以该解法错误，其忽视了换元时对新元t的限制范围。正解令V2x-1=r,贝ijx=l(r2+l)(t^O)2'71.=—厂+(+2•••t20••y=*"+1)2・••当t二0时ymin=・说明：用换元法求函数的最值是常用方法，但切记换元时要限制新元的范围。3忽视相关变量的相互限制例3若sinx+siny=l,求T=sinx-cos2y的最值。错解由已知得sinx二l-siny,代入T】

3、

4、i并变形得T=sin2y-siny、2(.1siny——l.-2丿——

5、sin)*Wl,但忽视了已知条件sinx+siny二1中的x、y的相互限制导致错误。由于x、y的相互限制，因此决不能孤立地确定各自的范围。正解由已知得sinx二l-siny,代入T中变形，得T=sin2y-siny4-1

6、2a211A错解1y=—sin2a++1<4sin2a>2-/—sin2a•————+1=2V4sin2a••Ymin-2•剖析这里忽视了应用基本不等式求最值时对等号成立条件的检验，事实上,当丄sin2a=一-一吋，sin2a=2,这是不可能的，故解4sin2a题出错。错解2—sinla+4l2sin2a)+亠+18sindx2jsi®•亠+厶+14V2sin2a8sin2an返+丄+1=—+_48x1488x1剖析这里虽然注意到两处等号成立的条件满足sin2a的取值范围（0,1],但因两处等号成立的条件不相同，故y取不到最小值丰+*,从而解题出错。sin2a)++14si

7、n2ai正解y=—sin2a+'4l、1cr13,>—x2./sin2a•—+—；+14Vsin2a4sin2a33、339——-j-————24sin2a2449例5求y=Vx2+4+/的最小值.厶2+4错解真肓莎••Ymin-剖析上面解法中，因为当且仅当77匚Z二「^=时取等号，而厶2+4此时x2-3无实数解,同样犯了运用基本不等式求最值吋等号不成立的错误，事实上,这题不能用基木不等式求解，否则，结果将是错误的，因此，这类题应多加注意。正解1设t=7x2+4,则te［2,+°°］且y二f(t)二t+1,在［2,+t00)上任取ti〈t2,则f(tj)—f(t2)=tj—

8、12^—-—-(ti—12)(1-)〈0,由t2卯2此可，知f(t)在［2,+8)上为增函数,・••当t=2即x=0时・，ymin=-.2正解2•・•(7x2+4+^^=)-(扬+丄)厶2+4V4_(3+4—2)(2j，+4—l)2J/+4又・・・/20(当且仅当沪0时取“=”)J/+4—2$0,2a/x2+4-1>0・・・J/+4+1$2+丄（当且仅当x二0时取“二”）厶2+42当灿时，畑弓9例6求函数y二x+-的最值。错解y=x+?$2匚3二6,故函数有最小值6,无最大值。XVX剖析这里忽视了基本不等式x+y22历屮x、y皆为正数条件。正解Tx与？同号，.I

9、y

10、二

11、x

12、+?

13、二

14、x

15、+2上2・XXX・•・yW-6或y$6,故函数既无最小值又无最大值。注意：运用基本不等式x+y22低不求函数最值时，只有同时满足下面三个条件才可求得：①x、y皆为正数；②当且仅当x=y时取等号；③“x+y”或“xy”其中一个必为定值。同样，运用基木不等式x+y+z23好求函数最值时亦然。忽视对一元二次方程二次项系数的讨论例7求函数y=的最值。2x2+4x+3错解原函数化为2yx2+4yx+3y-5=0,・・•此关于y的方程有解AA>0,即（4y）2-8X3.y-5）>0解Z得0故函数有最大值5,最小值